Deixalles, art i matemàtiques

(Enrique Salinas, Lluís Botella)

• Fractals

• Presentación de la actividad: Triángulo de Sierpinski con latas de refresco

• Fractal. Triangle de Sierpinski

• Exercicis sobre el triangle de Sierpinski

• El triangle amb llaunes de refresc

• Dimensió fractal

• Fotos de la construcció del triangle

EXERCICIS

1. Calcula el nombre de triangles en cadascun dels successius passos.

2. Si la longitud del costat del triangle inicial és a, calcula la longitud del costat de cada triangle en cadascun dels successius passos.

3. Calcula el perímetre de cada triangle en cadascun dels passos.

4. Calcula la suma del perímetre de tots els triangles en cadascun dels passos.

5. Ompli la taula següent (ens referim a triangles pintats):

6. Què penses que ocorrerà amb el perímetre total si el nombre de passos augmenta tant com vullguem, és a dir, si repetim el procés tantes vegades com vullguem?

7. Calcula l'àrea d'un triangle equilàter de costat a. Per a això hauràs d'utilitzar un famós teorema: el teorema de P________. Anomenarem A0 a la dita àrea.

8. Calcula l'àrea del que queda de triangle en cada un dels passos, en relació amb l'àrea del primer triangle.

9. Ompli la següent taula, partint d'un triangle de costat a:

10. Què penses que ocorrerà amb l'àrea restant si repetim el procés tantes vegades com vullguem?

11. Si repetim el procés tantes vegades com vullguem, quant sumaria l'àrea de tots els triangles que llevem?

Les conclusions dels exercicis 6 i 11 donen lloc a un resultat sorprenent; ens trobem amb un objecte que a pesar d'estar definit sobre una regió finita de l'espai posseeix una frontera d'extensió il·limitada.

Les propietats particulars de "monstres" matemàtics com aquest fan que siga difícil establir un mecanisme sistemàtic per a comparar-los i classificar-los (Gardner, 1976); si tenen una longitud infinita, com distingir-los? El primer intent per a aconseguir-ho es basa en les idees del matemàtic alemany Félix Hausdorff, qui en 1919 va introduir el concepte de dimensió que hui permet caracteritzar-los (Gould, 1988). Per a més detalls veure Dimensió d'Hausdorff.

El fractal de Sierpinski i les llandes de refresc.

El procediment per a formar el triangle de Sierpinski amb llandes de refresc, serà al contrari de què hem seguit per a introduir el dit triangle. El que farem serà el següent:

Pas 0 (inicialment): Partim d'un pot de refresc.

Pas 1: Agafem 3 pots i els unim amb silicona, de manera que els seus centres formen un triangle equilàter.

Pas 2: Agafem tres triangles com els obtinguts en el pas anterior, i els unim, de manera que s'obtinga un altre triangle equilàter.

Pas 3. Agafem 3 triangles com els obtinguts en el pas anterior i els unim amb silicona, de manera que formen un altre triangle equilàter.

I així successivament.

Per a saber quant mesura l'alçària del triangle de Sierpinski que es va formant després de cada pas, podem anar dibuixant els triangles equilàters que s'obtenen unint els centres de les llandes. Així:

Pas	Figura	Alçària
1		El costat del triangle és: l=______ El costat total és: L= L'alçària del triangle la podem calcular utilitzant el Teorema de P_______, amb la qual cosa obtenim: h=_________ L'alçària total de la figura és: H=________ Si ara tenim en compte que cada llanda té un radi r=________, l'alçària de la nostra figura serà:H=___________
2
3
···	···	···
k

D'acord amb tot açò, es tractaria d'omplir la taula següent:

I si fem un recompte de quantes vegades s'ha de repetir cada etapa i quantes llandes caldria utilitzar? Per a això omplim la taula següent:

Triangle de Sierpinski després de repetir el procés 4 vegades

Dimensió d'Hausdorff

Establir la dimensió d'un objecte regular "a ull" pareix cosa fàcil i requereix tan sols d'un poc de sentit comú. Així diem que un tros de fil és aproximadament unidimensional i que un full de paper és un bon exemple d'una forma en dues dimensions. No obstant això, si se'ns demana definir un mecanisme pràctic per a verificar-ho ens trobarem en compromisos. A més, és el mateix un full llis que un arrugat?; si el fil és de longitud infinita, no podríem cobrir amb ell tot el pla? En fi, és millor intentar generar un mètode que ens permeta obtindre respostes sense deixar lloc als dubtes.

Prenguem primer el fil, el qual representarem com una recta de longitud L= 1 m , per exemple, i dividim-lo en tres trossos iguals de l = 1/3 m d'extensió. En aquest cas, el nombre de particions que es generen (N) s'obté determinant quantes vegades cap una part l en el total L: N = L/l = (L/l)1=3:

Si repetim aquest procés sobre el full de paper a què considerarem com un quadrat de costat L= 1 m, a què seccionem en quadrats més xicotets de costat l = l/2m'i àrea l²=1/4 m², el nombre de particions resulta ara N=L²/l² = (L/l)²=4:

L'extensió directa dels resultats anteriors al cas tridimensional ens portaria a suposar que ací ha de complir-se que N= (L/l)³ (pareix que basta elevar L/l a una potència igual a la dimensió de la figura), la qual cosa es verifica amb el poal que dibuixem a continuació:

En dividir cada costat a la mitat, l= L/2, es generen N=L³/l³=8 xicotets poals de volum l³.

Si generalitzem les relacions obtingudes podem dir que en un procés de divisió com el descrit, el nombre de seccions generades està donat per , on df és el que denominarem la dimensió d'Hausdorff de l'objecte; cal notar que la mateixa relació ha de complir-se tant si decidim seccionar l'objecte total com qualsevol de les seues parts.

Trobem així una estratègia per a quantificar la dimensió de qualsevol forma geomètrica, ja que si , podem aillar:

Per exemple, en prendre un triangle equilàter de costat L=1 i dividir-lo en seccions de la mitat d'extensió (l=1/2; L/l=2):

S'obtenen quatre particions idèntiques (N=4); d'on es dedueix que:

, tractem amb un objecte bidimensional.

Si açò ho apliquem al triangle de Sierpinski, que és el resultat de seccionar a tota escala un triangle equilàter en quatre particions semblants els costats del qual són tan sols la mitat dels de la figura original (L/l=2), i una vegada fet açò, s'extrau la secció central, de manera que queden les tres parts dels vèrtexs (N=3), i sobre aquestes s'actua de la mateixa manera: