PROBLEMAS RESUELTOS 5ª QUINCENA.
1. Función integral I (actividad 53, página 65 del libro de texto).
2. ¿Un área nula? (Actividad 59, página 70 del libro de texto)
3. Áreas (Actividad 60, página 70 del libro de texto)
4.Atención (Actividad 78, página 89 del libro de texto)
5. Volúmenes de sólidos de revolución (Actividad 80 del libro de texto)
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1. Función integral I (actividad 53, página 65 del libro de texto).
Respuesta
Se trata de calcular la función integral a partir del área de la región correspondiente, ya que la función es no negativa en dicha región.
De esta forma observan que en el
primer caso, el área del rectángulo es (x–2)·2=2x-4, por lo que
.
Es decir F(x)=2x–4 es la función integral.
En el segundo caso, el área del
trapecio es
,
ya que una base vale 2 y la otra x, y la altura es (x–2).
Por lo tanto,
Þ
F(x)=
Aquí tienes la gráfica de cada función y de su función integral:
|
Función |
|
|
|
Función integral |
|
|
¿Qué clase de gráfica es la segunda función integral?
2. ¿Un área nula? (Actividad 59, página 70 del libro de texto)
Respuesta
a) El valor de la integral y el del área son opuestos, ya que la función es negativa en [1,4], y por lo tanto
A(R)=
=
u. l2.
Para calcular dicha integral definida, utilizamos la regla de Barrow:
1º) Calculamos una primitiva de f(x)=x2.
G(x)=
2º) Calculamos su valor en los extremos de integración:
y
3º) El valor de la integral definida es la resta de los valores que hemos obtenido:
b) Si observamos la gráfica, nos podemos hacer una idea de lo que nos están pidiendo:
En este caso, ya que parte de la función
es negativa y parte positiva en el intervalo
[–2,2], y además el área de las dos regiones sombreadas es la misma,
resultará que
(lo
que también se puede comprobar utilizando la regla de Barrow).
Sin embargo, está claro que el área no es cero, sino que por la simetría existente, el área pedida es el doble del área de una de las dos regiones sombreadas. Elegimos la región en la que la función es no negativa, y de esta forma se cumplirá que
A(R)=
u.l2.
3. Áreas (Actividad 60, página 70 del libro de texto)
Respuesta
a) Las gráficas de y=senx y de y=1/2 son conocidas, y son las que siguen. Además sombreamos la región cuya área nos piden:
Por lo tanto, el área no viene dada
por la
, porque en este intervalo ambas funciones se cortan en más de un punto, y por
tanto, la función que resulta de restarlas cambia de signo en [0,p].
Hemos de calcular los puntos de corte. Para ello, igualamos ambas funciones:
senx=1/2.
Las soluciones de esta ecuación en [0,p] son p/6 y 5p/6 .
El área pedida vendrá dada por
A(R)=
ya que el área entre dos curvas es la integral de la diferencia entre la función que está por encima menos la que está por debajo.
Ahora bien, si no conocemos las gráficas de las funciones que intervienen, o bien resulta muy laborioso obtener sus gráficas, siempre podemos obtener el área obteniendo el valor absoluto de la integral de la función diferencia de ambas, de modo que el área que nos piden también podemos calcularla de la siguiente forma:
A(R)=
Esta última forma de hacerlo tiene dos ventajas desde el punto de vista de evitarnos cálculos:
1º) No necesitamos dibujar las gráficas correspondientes a cada función.
2º) Al aplicar la regla de Barrow, tan sólo tenemos que calcular una primitiva, ya que la función diferencia que tenemos que integrar es siempre la misma.
En nuestro caso, tenemos que obtener
una primitiva de la función
, que es
.
Y de acuerdo con la regla de Barrow, será:
A(R)= ½G(p/6)–G(0)½+½G(5p/6)–G(p/6)½+½G(p)–G(5p/6)½
Calculamos, pues
G(0)=
y por lo tanto
A(R)= ½
–1½+½
–(
)½+½
–(
)½=
@0'128+0'685+0'128=0'941 u.l2.
Si queremos saber el
valor exacto, entonces A(R)=
u.l2.
b) En primer lugar, tenemos que calcular el valor de la abscisa en la que la función alcanza su mínimo. Para ello, utilizamos el criterio de la segunda derivada.
1º) Calculamos la primera y la segunda derivada:
y'=ex+xex=ex(1+x) y''=ex+ ex+xex=ex(2+x)
2º) Calculamos el valor para el que se anula la primera derivada:
y'=0 Û ex(1+x)=0 Û 1+x=0 Û x= –1, ya que ex no se anula para ningún valor de x.
3º) Sustituimos el valor de x para el que se anula la primera derivada, en la segunda derivada, y estudiamos el signo de ésta:
y''(–1)=e–1(2–1)>0 Þ la función alcanza un mínimo relativo en x= –1.
Así pues, tenemos que calcular el área de dicha región cuando x varía entre –1 y 0.
La integral no nos da el área correspondiente, ya que en dicho intervalo, la función es negativa, por lo que el área y la integral correspondiente, son opuestas.
La gráfica es
Así pues,
A(R)=
.
Aplicamos la regla de Barrow. Para ello:
1º) Tenemos que obtener una primitiva de y=xex. Esto se consigue utilizando el método de integración por partes:
Puesto que para utilizar la regla de Barrow, tan solo necesitamos una de las primitivas, elegimos C=0, con lo cual la primitiva sería:
G(x)=xex–ex=ex(x–1)
G(0)=0·e0–e0= –1 y G(–1)= –2e–1
Por tanto
A(R)=
.= –[G(0)–G(–1)]= –(–1+2e–1)=1–2e–1
=
@
0'264 u.l2.
4.Atención (Actividad 78, página 89 del libro de texto)
Respuesta
Tan solo vamos resolver el apartado b).
La gráfica de ambas funciones es la siguiente. También aparece sombreada la región cuya área queremos calcular.
Observa que la zona limitada por ambas parábolas está, en parte, en el cuarto cuadrante.
A continuación, resolvemos el sistema de ecuaciones,
para obtener los puntos de corte que son x=0 y x=4.
Tenemos al menos tres formas distintas de resolver la actividad.
1)
Calculamos el área de la zona comprendida entre ambas, mediante la
integral definida:
. A dicha área, le restamos el área de la región comprendida en el cuarto
cuadrante, que es
, y por lo tanto el área pedida es A=
–(
)=20
u.l2.
2)
Calculamos el área de la zona comprendida por debajo de la parábola
convexa entre x=0 y x=4 y el eje de abscisas y le restan el área de la región
comprendida entre el eje de abscisas, la parábola cóncava y las rectas x=2 y
x=4. De esta forma, el área pedida es A=
=20 u.l2.
3) Algo más sofisticado es este otro método, que consiste en hallar el área de la región comprendida entre la parábola convexa y el eje de abscisas y se le resta el área de la región comprendida entre la parábola cóncava, el eje de abscisas y las rectas x=2 y x=4, y también se le resta el área de la región comprendida entre la parábola convexa, el eje de abscisas y las rectas x=4 y x=6. Es decir:
A=
=20 u.l2.
5. Volúmenes de sólidos de revolución (Actividad 80 del libro de texto)
Respuesta
La gráfica correspondiente es:
La zona sombreada está comprendida entre los puntos de corte de ambas gráficas, que se obtienen resolviendo el sistema de ecuaciones correspondiente:
Þ
x2=4x–x2 Û
2x2–4x=0 Û
2x(x–2)=0 Û
x=0 ó x=2
Al girar la zona sombreada alrededor del eje de abscisas, se obtiene un sólido de revolución cuyo volumen se obtendría restando al volumen del sólido generado por la gráfica que está por encima (entre x=0 y x=2) , el volumen del sólido generado por la gráfica que está por debajo. Si f y g son las respectivas funciones, entonces:
V=
En nuestro caso:
V=
=
=
u.l3.
Respuesta
a)
El volumen alrededor del eje de abscisas viene dado por V=
. Además, por tratarse de una elipse, los límites de integración coinciden
con los puntos de corte de la elipse con el eje de abscisas, que se obtienen
haciendo y=0 en la ecuación de la elipse.
Así pues,
y=0 Þ
Þ
x=±4.
Esto, también podemos observarlo en la gráfica:
Por lo tanto: V=
=
(sin más que despejar y de la ecuación de la elipse.
Ahora bien, por la simetría de la curva, podemos observar que
V=
=
=
=
u.l3.
b)
El volumen alrededor del eje de ordenadas viene dado por V=
, y los límites de integración en este caso, son los puntos de corte con el
eje de abscisas, que se obtienen haciendo x=0 en la ecuación de la elipse:
x=0 Þ
Þ
x=±3
Por lo tanto: V=
=
(sin más que despejar x de la ecuación de la elipse.
Ahora bien, por la simetría de la curva, podemos observar que
V=
=
=
u.l3.
Como podemos observar, el volumen no es el mismo.
