CURSO 2004/2005
examen 2ª evaluación 2004/2005
4. Consideremos un test de 12 preguntas, en que
se ofrecen cuatro posibles respuestas para cada pregunta, de las que sólo una es
correcta.
a) ¿Cuál es la probabilidad, para un alumno que responde al azar, de
hacerlo correctamente a 5 preguntas?
b) ¿Cuál es el número medio de respuestas correctas que se puede esperar
obtener contestando todas las preguntas al azar?
Respuesta:
a) Sea K=”número de respuestas acertadas”. K es una variable aleatoria. Además, tenemos que responder a 12 preguntas, de forma que cada vez que contestemos se cumple que:
1) Sólo hay dos resultados posibles ( correcta o incorrectamente).
2) Cada respuesta es independiente de las anteriores.
Por lo tanto, la variable K sigue una distribución binomial, donde los parámetros son n=12 (doce cuestiones) y p=0’25 (probabilidad de responder correctamente, ya que hay una respuesta correcta entre 4 posibles).
Así pues K sigue una distribución binomial B(12,0’25).
Nos piden que obtengamos la probabilidad de que un alumno que responde al azar, responda correctamente a 5 preguntas, es decir, tenemos que hallar p(K=5). Por lo tanto:
para una B(n,p), siendo q=1–p (probabilidad de no
responder correctamente).
En nuestro caso tenemos: n=12, k=5, p=0’25 q=0’75,
por lo tanto:
@=792·0’00098·0’13348@0’1032.
Es decir, la probabilidad de acertar 5 preguntas al azar es de 0’1032, es decir, de un 10% aproximadamente.
b) Dado que la probabilidad de acertar al azar es de 0’25, esto significa que cabe esperar que por término medio, se contesten 1 de cada 4 preguntas respondidas al azar. Por lo tanto, si respondemos a 12 preguntas, cabe esperar que respondamos 12·0’25=3 preguntas correctamente.