problemas resueltos 9ª quincena

PROBLEMAS RESUELTOS 9ª QUINCENA.

1. Calculando límites.

2. Estudia la continuidad...

3. Calcula los siguientes límites:

4. Teniendo en cuenta...

5. Calcula los siguientes límites...

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1. Calculando límites

Siendo

a) Halla la expresión más simplificada posible de

(f + g)(x) (f – g)(x) (f·g)(x) (f/g)(x) (g/f)(x)

(g + h)(x) (g – h)(x) (g·h)(x) (g/h)(x) (h/g)(x)

b) Utilizando límites conocidos y/o calculadora, rellena la siguiente tabla


	f	g	h	f+g	f–g	f–h	f·g	f/g	g/f	f/h	g–h	g·h	g/h	h/g
x ® 2
x ® 1
x ® –1
x ® +¥
x ® –¥

c) Intenta encontrar reglas generales para determinar el límite de una función suma, producto o cociente de dos funciones cuyos límites son conocidos.

Por ejemplo, si lim f(x) = k₁ y lim g(x) = k₂ cuando x tiende a un valor finito o infinito ¿Está determinado lim (f+g)(x) ?¿Y si uno de los límites de f o g (o ambos) es de tipo infinito?

¿Existen "reglas" que funcionan en todos los casos para cada una de las operaciones? Por ejemplo , si lim f(x) = 0 y lim g(x) = ¥ , ¿qué límite tiene la función producto?

d) Analiza las distintas situaciones que pueden presentarse al trabajar con límites funcionales del tipo f ± g, f·g y f/g según sean los límites de f(x) y g(x) (que podrán ser de tipo finito y/o infinito) y señala las indeterminaciones que pueden producirse.

Respuesta

Límite cuando

f

g

h

f+g

f–g

f–h

f·g

f/g

g/f

f/h

g–h

g·h

g/h

h/g

x²–1

1 (*)

(x+1)² (*)

(*)

(x–1)² (*)

(*)

2x+2 (*)

(*)

(*)

x®1^–

x®1

x®1⁺

–¥

¥

+¥

0^–

0

0⁺

–¥

¥

+¥

–¥

¥

+¥

–¥

¥

+¥

1

1

1

4^–

4

4⁺

+¥

+¥

+¥

0⁺

0

0⁺

1^–

1

1⁺

+¥

¥

–¥

4^–

4

4⁺

0⁺

0

0⁺

+¥

+¥

+¥

x®2^–

x®2

x®2⁺

3⁺

3

3^–

3^–

3

3⁺

2⁺

2

2^–

6^–

6

6⁺

0⁺

0

0^–

1

1

1

9^–

9

9⁺

1⁺

1

1^–

1^–

1

1⁺

1'5^–

3/2

1'5⁺

1^–

1

1⁺

6^–

6

6⁺

(3/2)^–

3/2

(3/2)⁺

(2/3)⁺

2/3

(2/3)^–

x®–1^–

x®–1

x®–1⁺

0⁺

0

0^–

0⁺

0

0^–

1

1

1

(1/4)^–

1/4

(1/4)⁺

4⁺

4

4^–

x®+¥

1⁺

+¥

0⁺

+¥

–¥

1

+¥

0⁺

+¥

+¥

+¥

+¥

+¥

0⁺

x®–¥

1^–

+¥

0^–

+¥

–¥

1

+¥

0⁺

+¥

–¥

+¥

–¥

–¥

0^–

(*) Se trata de la expresión simplificada de dicha función, pero sus dominios no coinciden. ¿Es la misma función?

Las celdas sombreadas se corresponden con las indeterminaciones

2. Estudia la continuidad de la siguiente función, según los valores del parámetro a: .

Respuesta.

Para estudiar la continuidad de una función, hemos de estudiar en qué puntos es continua, en qué puntos es discontinua y qué tipo de discontinuidad presenta.

En este caso, se trata de una función definida a trozos. En realidad se trata de infinitas funciones, una para cada valor de a.

Veamos qué ocurre en cada uno de los intervalos en que está definida.

· Si x<0, la función es continua valga lo que valga a, ya que se trata de una función exponencial, y la función exponencial es una función continua en todo su dominio.

· Si x>0, se trata de una recta y por lo tanto de una función continua valga lo que valga a.

· Pero, ¿qué ocurre si x=0? A la izquierda de cero, se trata de una función exponencial y a la derecha de una recta. Para que la función sea continua, la recta y la función exponencial deberían unirse. Y para ello, deben cumplirse las condiciones de continuidad de una función en un punto. Veamos si es así.

1. f(0)=e^a·0=e⁰=1

2. Þ para que exista , 1=2a

Por lo tanto .

3. Si , entonces =f(0)=1, y la función será continua en x=0.

Podemos resumir todo esto de la siguiente forma:

Si x¹0, f es continua, para cualquier valor real de a.

Si x=0 y , f es continua.

Si x=0 y , f es discontinua de salto finito. El salto mide (la diferencia de los límites laterales, en valor absoluto).

Observa la siguiente representación gráfica, que te dará una idea de lo que sucede.

Valor de a	Gráfica de f
a=1
a=0
a=–1
a=0'5

Observa como ambos trozos de gráfica se unen para a=0'5, produciéndose un salto, finito, en cualquier otro caso.

3. Calcula los siguientes límites:

a) b) c)

Respuesta.

a) = que es una indeterminación.

Para quitar este tipo de indeterminaciones, tenemos que dividir numerador y denominador entre la x de mayor grado, y nos quedaría:

Observa que no son necesarios los ceros de la última fracción. Tan solo se han puesto para que te des cuenta que todos esos términos tienden a cero.

b) = que es una indeterminación.

Seguimos el mismo procedimiento que anteriormente, con lo cual:

Algunos comentarios al respecto:

· Aunque aparece un cero en un denominador, dicha expresión lo que significa es que estamos dividiendo un número que se acerca a 7 tanto como queramos entre otro que se acerca a cero tanto como queramos, pero que nunca es cero.

· Además, el denominador se acerca a cero, pero siempre con valores positivos, lo que se indica con el signo + escrito como superíndice (se acerca a cero por la derecha). Hay que prestar especial atención a la forma de acercarse a cero, ya que por la derecha todos los valores son positivos, mientras que por la izquierda los valores son negativos.

c) = que es una indeterminación.

Por el procedimiento anterior:

4. Teniendo en cuenta el problema anterior obtén una regla general para calcular los límites del tipo , siendo P y Q polinomios de grado p y q, respectivamente.

Respuesta.

Habrás observado que el resultado del límite depende de los grados del numerador y del denominador, de forma que:

I) Si los grados del numerador y del denominador son iguales:

El límite se obtiene dividiendo los coeficientes de los términos de mayor grado.

II) Si el grado del numerador es mayor que el grado del denominador:

El límite da ¥. El signo de ¥ depende de los signos de los coeficientes de los términos de mayor grado, de manera que:

· Si ambos coeficientes tiene el mismo signo, el resultado es +¥.

· Si ambos coeficientes tienen distinto signo, el resultado es –¥

III) Si el grado del numerador es menor que el grado del denominador:

El resultado es 0.

5. Calcula los siguientes límites y comprueba el resultado.

a) =+¥ b) c)

Respuesta.

a) Hemos de tener en cuenta que y que , por lo que

que es una indeterminación relacionada con el número e.

De hecho,

(1)

si f(x)® +¥ (como ya hemos visto).

Lo que tenemos que hacer es transformar la expresión del límite que queremos calcular y escribirla de esta forma. Observa atentamente los pasos que seguimos:

1. Sumamos y restamos 1 a la base:

2. Efectuamos la resta:

=

De esta forma ya hemos conseguido que la expresión se parezca más a (1).

3. En la base, dividimos el numerador y el denominador de la fracción entre 12 (que es lo que vale dicho numerador. De esta forma obtenemos una fracción con numerador igual a 1, que es lo que pretendemos).

= = =

4. El paso siguiente será multiplicar el exponente de dicha potencia por el denominador de la fracción de la base, y, para que no varíe dicho exponente, también dividiremos por dicho denominador. En realidad, en vez de dividir, multiplicaremos por su inverso. Nos quedaría entonces:

= =

5. Y ahora, teniendo en cuenta las propiedades de las potencias, si en un exponente hay productos, podemos expresar dicha potencia como potencia de potencia, de forma que

= =

El límite de la expresión que hay dentro del corchete, es el número e, por lo que nos quedaría:

= =e⁺^¥=+¥

Tenemos que:

y Þ , indeterminado.

Para quitar esta indeterminación, hemos de efectuar la resta y después calcular el límite:

= según hemos visto en la actividad 4 resuelta anteriormente .

que es una indeterminación.

Para quitar este tipo de indeterminaciones, hemos de descomponer en factores el numerador y el denominador, y simplificar la fracción.

Para ello, hemos de utilizar la regla de Ruffini:

Numerador						Denominador
	1	0	–3	2			1	–1	–1	1
1		1	1	–2		1		1	0	–1
	1	1	–2	0			1	0	–1	0

Así pues, nos quedará:

,

que vuelve a estar indeterminado.

Para quitar la indeterminación, hemos de repetir el proceso.

Ahora numerador y denominador son de segundo grado, por lo que:

· Para descomponer en factores el numerador resolvemos la ecuación

x²+x–2=0 Û x=1 ó x=–2

por lo que x²+x–2=(x–1)(x+2)

· Para descomponer en factores el denominador, observamos que se trata de una diferencia de cuadrados, y por lo tanto:

x²–1=(x+1)(x–1).

Por lo tanto, nos queda:

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