PROBLEMAS RESUELTOS 8ª QUINCENA.

(I)

Puedes encontrar los enunciados en el libro de Matemáticas 1. 1º Bachillerato . Ciencias de la Naturaleza y la Salud. Grupo Eureka: Luis Botella, Bernardina Cascón, Carmen Martín, Luis M. Millán,  Carmen Pérez y Enrique Salinas. Editorial Marfil.

1. No es muy difícil

2. Más probabilidades

3. ¿Es fiable?

4. Practica

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1.   No es muy difícil.

Una joven tiene que realizar una prueba sobre un temario que consta de 20 lecciones. Sólo ha estudiado 10 temas del programa, pero los domina estupendamente.

En la prueba saldrán 3 temas de forma aleatoria, mediante sorteo y tendrá que elegir uno de ellos.

¿Qué probabilidad tiene de superar la prueba?

Si hubiera tenido tiempo de preparar 5 temas más, ¿habría aumentado mucho la probabilidad anterior?

Respuesta

Superará la prueba si le sale "al menos" uno de los temas que se sabe.

La aparición de la expresión "al menos" o sinónimos, nos indica que es preferible obtener la probabilidad del suceso contrario, y luego restarla de uno.

Si el suceso A="salir al menos un tema de los que se sabe"

El suceso contrario A'="no sale ningún tema de los que se sabe"

Puede ser que el sorteo se realice de dos formas distintas:

a)      Una vez ha salido el primer tema, éste no vuelve a entrar en el sorteo.

b)      Una vez ha salido el primer tema , éste vuelve a entrar en el sorteo.

Caso a)

Podemos seguir varias estrategias para obtener la probabilidad de A'. Una de ellas sería:

El suceso A' se verifica si no sabe el primer tema que sale y no sabe el segundo y no sabe el tercero.

Si llamamos S₁, S₂ y S₃ a estos sucesos, entonces

p(S₁)=      p(S₂/S₁)=    p(S₃/S₂ÇS₃)=

Por lo tanto

p(A')=

y la probabilidad pedida será

p(A)=1–p(A')=@89% 

es la probabilidad que tiene de superar la prueba.

Caso b)

En este caso p(S₁)=p(S₂)=p(S₃)=, ya que los sucesos son independientes.

Por lo tanto p(A')=,

Y la probabilidad pedida es

P(A)=1–p(A')=@88%

Si hubiera estudiado 5 temas más, tendríamos:

Caso a)

p(S₁)=      p(S₂/S₁)=    p(S₃/S₁ÇS₂)=

y por lo tanto:

p(A')=

con lo cual

p(A)=@99%

El aumento del porcentaje es 99–89=10% aproximadamente.

Caso b)

Ahora es

p(S₁)= p(S₂)= p(S₃)=, ya que los sucesos son independientes.

Por lo tanto

p(A')=

con lo cual

p(A)=@98%

y la probabilidad anterior aumentaría en un 98–88=10% aproximadamente.

2.   Más probabilidades

Completa el diagrama de árbol y construye la tabla de contingencia.

Calcula p(AÈB), P (A/noB) y p(A/B)

Respuesta

Hemos de tener en cuenta que la suma de las probabilidades de dos sucesos contrarios siempre da uno, por lo que el diagrama de árbol quedaría completado de la siguiente forma:

 Con ello, la tabla quedaría de la siguiente forma: (ver página 258 del libro de texto)

Si ahora queremos calcular las probabilidades que nos piden, podemos hacerlo a partir de la tabla de contingencia o del diagrama de árbol.

Así:

P(AÈB)=p(A)+p(B)–p(AÇB)=0'3+0'52–0'24=0'58

P(A/noB)=

P(A/B)=

3.   ¿Es fiable?

Una prueba determinada sirve para diagnosticar el sida. Si se tiene la enfermedad, la prueba es positiva con un 97% de seguridad. Si no se tiene, la prueba es negativa con un 93% de seguridad.

Cierta persona se somete a la prueba y se conoce que, con sus características, una de cada 100 personas está enferma sin saberlo.

¿Cuál es la probabilidad de que la prueba resulte positiva?

Si el resultado es positivo ¿cuál es la probabilidad de que tenga SIDA realmente?

Si la prueba fuese negativa ¿cuál es la probabilidad de que, a pesar de ello, tenga SIDA?

¿Qué valoración haces de esta prueba?

Respuesta

Observa que conocemos algunas probabilidades, que por ello son llamadas probabilidades "a priori".

Si llamamos a los sucesos:

E= "tener la enfermedad"

P= "la prueba da positiva"

Las probabilidades "a priori" serían:

p(E)= p(P/E)=    p(noP/noE)=

Y a partir de estas probabilidades, hemos de calcular las que nos piden, que se llaman probabilidades "a posteriori". Para calcularlas, y puesto que los datos son probabilidades condicionadas, obtenemos el diagrama de árbol:

Hemos de calcular:

p(P)=0'01·0'97+0'99·0'07=0'079             es la probabilidad de que la prueba resulte positiva.

P(E/P)=@12%        es la probabilidad de que se tenga la enfermedad si la prueba ha dado positiva

P(E/noP)=@0'03%

La prueba no es fiable si el resultado es positivo, pero en cambio, es muy fiable si el resultado es negativo.

4.  Practica

a) Calcula (x-1)⁵.

b) ¿Cuál es el término de grado 3 en el polinomio (1+2x)⁶? ¿Y el de grado 4?

c) Halla el término de grado 7 del polinomio (x²–x)^5.

d) ¿Qué potencias enteras de x aparecen en el desarrollo de  ? ¿Con qué coeficiente numérico?

Respuesta

a)      Aplicamos la regla que nos da el binomio de Newton, y tendremos que

Observa que cada término del desarrollo de dicha potencia es de la forma

por lo que dicho desarrollo se podría resumir escribiéndolo así:

.

Calculando ahora cada término y cada número combinatorio, tendríamos:

·            

·      

Hemos aplicado propiedades de las números combinatorios (ver página 251 del libro de texto).

De esta forma, nos quedaría:

(x–1)⁵=x⁵–5x⁴+10x³–10x²+5x–1

b) Cada término del desarrollo de dicho binomio es de la forma

y agrupando las equis en una sola potencia, nos quedaría

            (1)

El término de grado 3 será aquél para el que

k=3

Luego se trata del cuarto término (ten en cuenta que k empieza a contar desde cero).

Su expresión es =160x³

De igual manera, el término de grado 4 será aquél que cumpla k=4.         Por lo tanto, se trata del quinto término, y su expresión es: . =240x⁴

  c)      Cada término del desarrollo de dicho binomio es de la forma

y agrupando las equis en una sola potencia, nos quedaría

    (1)

c)      Para el término de grado 7, se cumplirá

10–k=7 Û k=3

y dicho término será

 (sustituimos k=3 en la expresión (1)

y puesto que , según hemos calculado anteriormente, nos queda que el término de grado 7 es

–10x⁷

d)      El proceso es análogo al anterior. Cada término del desarrollo de dicha potencia es de la forma

   (2)

y para que resulte una potencia entera de x, habrá de ser  un número entero, y por lo tanto k un múltiplo de 3.

Los múltiplos de 3, entre 0 y 12, son

k=0, con lo que el término correspondiente es,        =4096

k=3 Þ

k=6 Þ

k=9 Þ

k=12 Þ

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