PROBLEMAS RESUELTOS 6ª QUINCENA.

Puedes encontrar los enunciados en el libro de Matemáticas 1. 1º Bachillerato . Ciencias de la Naturaleza y la Salud. Grupo Eureka: Luis Botella, Bernardina Cascón, Carmen Martín, Luis M. Millán,  Carmen Pérez y Enrique Salinas. Editorial Marfil.

1. Distancia entre dos puntos del plano

2.  Producto escalar y ángulos

3. Sin medir el ángulo

4. Más actividades

5.  Más ángulos

6.   Busca un procedimiento

7. Simetrías

8.  Un cuadrado

9. ¿Es tangente?

10. ¿Te atreves?

11. Trayectoria

12. Elipses y circunferencias

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1.      Distancia entre dos puntos del plano.

Dibuja en un plano con un sistema de coordenadas los puntos A(3,5) y B(7,8). ¿Cómo puedes calcular la distancia entre A y B sin medirla.?

¿Qué distancia habrá entre los puntos que tienen por coordenadas (a,7) y (a,11), siendo a un número cualquiera.?

¿Y entre los puntos C(3,b), D(7,8)?

¿Qué fórmula representará la distancia entre dos puntos arbitrarios de coordenadas (a,b) y (c,d).?

Respuesta

a)    Se trata de obtener el módulo del vector que los une. Si A(3,5) y B(7,8), entonces:

 Þ d(A,B)= u.l.

b)   Obviamente, si A(a,7) y B(a,11), entonces d(A,B)=4, sea cual sea el valor de a. Si C(3,b) y D(7,8), entonces

d(C,D)=  u.l.

c)    Después de lo visto anteriormente, queda claro que si P(a,b) y Q(c,d,), entonces:

d(P,Q)= u.l.

2.      Producto escalar y ángulos.

a)    Si= 5 , = 4 , calcula  si ángulo (, ) = 30º , 45º , 0º , 90º .

b)        = 3, = 4. Halla el ángulo que forman si  = 6.

c)        Halla  si el ángulo que forman es 60º, = (2, – 4) y = 2.

Respuesta

a)    5·4·cos30º=10 si ángulo =30º

5·4·cos45º= si ángulo =45º

5·4·cos0º=20 si ángulo =0º

5·4·cos30º=0 si ángulo =90º. ¿Qué observas en este caso?

b)   =  Þ a=arc cos(0’5)=60º= radianes.

c)    Tenemos que , por lo tanto:

3.      Sin medir el ángulo.

¿Qué ángulo forman las rectas r:  y = 3x – 5 , s:  y = – 4x + 2 ?

¿Y r':  y = 4x – 12 , s':  5x + 3y – 2 = 0 ?

Respuesta

La pendiente de la recta r es m_r = 3, por lo que un vector director de dicha recta será el vector =(1,3).

Del mismo modo, la pendiente de la recta s es m_s=–4, por lo que un vector director de dicha recta será el vector =(1,–4).

El ángulo formado por dichas rectas será el menor de los ángulos formados por las direcciones de los vectores, y para calcularlo, utilizamos el producto escalar. Así, si el ángulo buscado es ángulo(r,s)=a, entonces:

cosa=@0’9971 Þ a@4’4º

De la misma forma se obtiene el ángulo entre r’ y s’.

4.      Más actividades.

a)        Halla el producto escalar de los vectores = (–6, 4) y = (4, 5).

b)        Halla el producto escalar de los vectores  = (3, 4) y  = (–4, 3). ¿Qué ángulo forman?

c)        Si = (4, 3), da un vector unitario con su misma dirección y sentido.

d)        Calcula las coordenadas de un vector , sabiendo que ||= 5 y que  = 5 , siendo  = (3, 2).

e)        Si = (3, –1) y = (2, 1), calcula  así como el módulo del vector que resulta al proyectar  sobre .

Respuesta

a)    ·= (–6, 4) · (4, 5)=–6·4+4·5=–24+20= –4.

b)   ·  = (3, 4) · (–4, 3)=3·(–4)+4·(–3)= –12+12=0.

Puesto que el producto escalar es cero, y ninguno de los dos vectores son cero, tendremos que:

·  = ½½· ½½· cos (, )=0 Û  cos (, )=0 Û (, )=

Así pues, y son ortogonales.

c)    Basta con dividir dicho vector entre su módulo.

½½=

por lo que el vector unitario que nos piden es  

d)   Si , tendremos que  Û a²+b²=50 (1)

Y como  = 5 Û (3,2)·(a,b)=5 Û 3a+2b= 5 (2)

Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2), obtenemos a y b, cuyos valores son:

a=5, b= –5      ó          a=, b=.

Tenemos, pues, dos posibles soluciones:

        ó  

e)    =3·2+(–1)·1=5

Si llamamos  al vector proyección de sobre , entonces se cumple que

5.      Más ángulos.

Halla el ángulo que forman los siguientes pares de rectas:

a)        r:  y = 3x – 2 ; s:  x + y = 5

b)       

Respuesta

a)    El ángulo que forman dos rectas es el menor de los ángulos que forman, por lo tanto:

 Û

Tenemos que obtener los vectores directores de cada una de las rectas, y para ello podemos seguir varios procedimientos, ahora bien, si recordamos lo visto en el curso anterior (página 79 de la guía de 1º), sabemos que si la ecuación general de la recta en el plano es Ax+By+C=0, las coordenadas de un vector director de dicha recta son v₁= –B y v₂=A. Por lo tanto, para las rectas que nos dan tendremos que:

r º y = 3x – 2 Û 3x–y–2=0 Þ v₁=1 y v₂=3 Þ

s º x + y = 5 Û x+y–5=0 Þ v₁= –1 y v₂=1 Þ .

Por lo tanto:

El ángulo que nos piden será

b)   En este caso, los vectores directores de cada recta son más sencillos de obtener, ya que por venir dadas por sus ecuaciones paramétricas, tan solo es necesario que nos fijemos en los coeficientes de t y de s en cada recta. Así

 y , con lo cual

El ángulo pedido es:

6.      Busca un procedimiento.

¿Cómo calcularías la distancia del punto  P(2, –1) a las rectas r:  x – 3y + 5 = 0 , s:  y = 2x – 3  y t:  x + 2y = 0 ?

¿Cuál será la distancia entre las rectas r: x + 2y – 5 = 0 , s:  2x + 4y = 1?

Respuesta

La distancia de un punto a una recta es la mínima distancia entre ambos, por lo tanto, el procedimiento a seguir, sería el explicado en la página 187 del libro de texto, que da lugar a una fórmula, sencilla de recordar, y muy útil porque evita un proceso bastante laborioso.

Si  P(x₀, y₀) y r º a.x + b.y + c = 0 Þ 

Es decir, se trata de:

1)      Sustituir las coordenadas del punto en cuestión, P, en la ecuación de la recta, r y obtener el valor absoluto.

2)      Calcular el módulo del vector normal o característico de la recta, que es el vector (a,b).

3)      Dividir ambos resultado. Lo que se obtiene es la distancia del punto a la recta.

En nuestro caso P(2,–1)

r º x – 3y + 5 = 0 Þ (1,–3). Los pasos a seguir son:

1)      Sustituimos las coordenadas de P en la ecuación de r y hallamos su valor absoluto: ½2–3·(–1)+5½=10.

2)      ½½=

3)      d(P,r)= u.l.

El procedimiento se puede hacer de un solo paso, de forma que

d(P,s)= u.l. (Observa que la ecuación general de la recta s es s:2x–y–3=0).

Y puesto que P es un unto de la recta t, ya que cumple su ecuación, tenemos que d(P,t)=0.

7.      Simetrías.

Halla el simétrico del punto A(–1, 4) y el simétrico del punto B(3, 3) respecto de la recta y= –x + 1 .

¿Qué ecuación tiene la recta simétrica de la recta que pasa por A y B?

Respuesta

El simétrico, A',  de un  punto, A, respecto a una recta, r, es un punto que tiene que cumplir dos condiciones:

1)      A' pertenece a la recta p_A, que es perpendicular a r y pasa por A.

2)      A' se encuentra a la misma distancia de la recta r que A, por lo tanto, las rectas p_A y r se cortarán en el punto medio, M, del segmento que une A con A',

3)      Una vez calculadas las coordenadas de M, resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de r y de p, las coordenadas de A' se obtendrán sin más que sumarle a las coordenadas de M las componentes del vector . Un dibujo explicativo no vendría mal.

Como r:y= –x+1, p_A:y=x+n, ya que el producto de las pendientes de dos rectas perpendiculares debe dar –1.

Como p_A pasa por el punto A, esto nos permite calcular n: 4= –1+n Þ n=5.

Así pues, p_A: y=x+5.

El sistema formado por  tiene por solución x= –2, y=3, por lo que M(–2,3).

Esto significa que =(–2,3)–(–1,4)=(–1,–1)

Por l,o tanto =(–2,3)+(–1,–1)=(–3,2).

Así pues A'(–3,2) son las coordenadas del simétrico de A respecto a r.

El procedimiento para obtener el simétrico de B(3,3) respecto de  dicha recta, es totalmente análogo. Intenta hacerlo por tu cuenta. El resultado es B'(–2,–2)

Por último, la recta simétrica de la recta que pasa por A y por B, respecto a la recta r, es la recta que pasa por A'(–3,2) y B'(–2,–2).

La pendiente de esta recta es m=, por lo que la ecuación en forma explícita es

y= –4x+n.

Puesto que pasa por A'(–3,2) Þ 2= –4·(–3)+n Þ n= –10.

Por lo tanto la ecuación de la recta pedida es   y= –4x–10.

8.      Un cuadrado.

De un cuadrado se sabe que tiene un vértice en el punto (4, –5) y que dos de los otros vértices están sobre la recta 3x – 4y = 0.

Halla las coordenadas de los vértices y el área del cuadrado.

Respuesta

La siguiente gráfica nos da una idea de lo que nos piden:

Vemos pues que hay dos posibles cuadrados. Podemos empezar obteniendo las coordenadas del punto Q.

El punto Q es el punto en que se cortan la recta r:3x–4y=0 y la recta p, perpendicular a r y que pasa por P(4,–5). Es decir, p. Puesto que (4,3) es ortogonal a (3,–4), resultará que la ecuación general de la recta p será 4x+3y+C=0. Y para calcular C, puesto que p pasa por P(4,–5), se cumplirá que:

4·4+3·(–5)+C=0 Þ C=–1. Luego p:4x+3y–1=0.

Q es un punto que pertenece a r y a p, por lo que sus coordenadas serán la solución del sistema formado por las ecuaciones de ambas rectas:

 cuya solución es x=  e y=.

Tenemos pues que  y con ello, podemos obtener la distancia de P a la recta r mediante la fórmula correspondiente  o como la distancia de P a Q. Lo haremos utilizando la fórmula:

d(P,r)= u.l. Este es el valor del lado del cuadrado.

Por lo tanto, el área del cuadrado será: A= u.l².

Para obtener el resto de los vértices, necesitamos un vector que tenga la dirección de la recta r y cuyo módulo sea el valor del lado del cuadrado. Para ello, sabemos que el vector (4,3) es un vector director de r, cuyo módulo es . Por lo tanto el vector  es un vector unitario en la dirección de r. Si lo multiplicamos por , tendremos el vector que buscamos:  (se trata del vector ).

Así pues, las coordenadas de R se obtendrán sumando a las coordenadas del vector de posición del punto Q, dicho vector.

+= Þ R

las coordenadas de R’ se obtendrán restando

–= Þ R’

Y haciendo lo mismo con P, obtenemos las coordenadas de S y S’:

(4,–5)+ = Þ S

(4,–5)– = Þ S’

9.      ¿Es tangente?

Dada la circunferencia  (x–2)2 + (y–3)2 = 4:

a) Obtén las coordenadas del centro C y el radio r.

b) Halla la distancia de C a las rectas r º 3x + y = 9 y  s º x – y = 0.

c) ¿Cómo son las rectas r y s con respecto a la circunferencia?

Respuesta

a)    C(2,3) y R=2, ya que la ecuación de una circunferencia de centro C(a,b) y radio R es (x–a)²+(y–b)²=R².

b)   Utilizamos la fórmula de la distancia de un punto a una recta (en el plano):

d(C,r)=

d(C,s)= u.l.

c)    Ambas rectas son secantes a la circunferencia, puesto que si comparamos la distancia del centro a cada una de las rectas con lo que mide el radio de la circunferencia, resulta ser menor. Es decir:

d(C,r)<R         y          d(C,s)<R

10.  ¿Te atreves?

Deduce la ecuación reducida de la elipse. Puedes empezar con algún caso particular, por ejemplo, tomando 2c = 8 y 2a = 10.

Respuesta

Si observas la elipse y sus elementos principales, verás que el triángulo rectángulo formado por el foco F, el vértice B y el origen de coordenadas, tiene como catetos el valor de a y b y como hipotenusa el valor de a, ya que todos los puntos de la elipse cumplen la propiedad de que la suma de distancias a los focos es siempre la misma: 2a.

Así pues, existe una relación entre los valores de a, b y c, que viene dada por el teorema de Pitágoras:

a²=b²+c².

En nuestro caso, a=5 y c=4 Þ b²=25–16=9 Þ b=3.

Si P(x,y) es un punto cualquiera de la elipse, su ecuación reducida, de acuerdo con su definición sería:

d(P,F')+d(P,F)=2a Û.

Para obtener la ecuación reducida hemos de simplificar esta expresión eliminando los radicales. Para ello, seguimos los siguientes pasos:

Su representación gráfica sería:

El procedimiento para obtener la ecuación reducida de una elipse cualquiera de semiejes a y b, es exactamente el mismo, obteniéndose la ecuación que aparece en la página 191 del libro de texto.

11.  Trayectoria.

Un punto se mueve sobre el plano de tal manera que las rectas que le unen con los puntos de

 coordenadas (-1, 0) y (1, 0) son siempre perpendiculares. ¿Qué trayectoria describe el punto.?

Respuesta

Observa en el siguiente dibujo, dos de dichos puntos, P y P':

Si A(–1,0) y B(1,0) y P(x,y) es uno de los puntos que cumplen la condición impuesta por el enunciado, está claro que los vectores  =(x+1,y) y  =(x–1,y) tienen que ser ortogonales, por lo que su producto escalar será cero.

Así pues:

(x+1,y)·(x–1,y)=0 Û (x+1)(x–1)+y·y=0 Û x²–1+y²=0 Û x²+y²=1.

Se trata, pues de una circunferencia de radio 1 y centro el origen de coordenadas. (Los puntos A y B, ¿cumplen la condición pedida?)

Observa el siguiente dibujo:

12.  Elipses y circunferencias

Sean las elipses de ecuaciones x² + 0.25 y² = 1 , 0.25 x² + y² = 1

 a)   ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que circunscribe simultáneamente a las dos elipses?

b)   ¿Qué coordenadas tienen los puntos del cuadrado de lados paralelos a los ejes coordenados en el que está inscrita la anterior circunferencia?

c)   ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia en la que, a su vez, está inscrito el cuadrado?

d)   Escribe la ecuación de una elipse con semiejes de longitud distinta que contenga a todo el conjunto de figuras anteriores.

Respuesta

a)      Sean las elipses

E₁: x²+0'25y²=1. Sus semiejes serán a=1 y b=2. (semieje mayor vertical)

E₂: 0'25x²+y²=1. Sus semiejes serán a=2 y b=1. (semieje mayor horizontal)

Por tratarse de la ecuación reducida de ambas elipses, su centro será el (0,0). Y como sus semiejes mayores coinciden, existe una circunferencia que las circunscribe.

Dicha circunferencia tendrá su centro en C(0,0) y su radio será R=2. Por lo tanto, su ecuación será:

x²+y²=4

La situación gráfica es la siguiente:

b)      Obviamente (2,2), (–2,2), (–2,–2) y (2,–2)

c)      El centro será el mismo, pero su radio será , por lo que su ecuación es:

x²+y²=8

d)      La elipse pedida ha de  tener de semieje menor  y de semieje mayor cualquier otro valor (por supuesto mayor que ). Una solución posible sería:

            La situación gráfica de toda esta actividad sería:

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