PROBLEMAS RESUELTOS 11ª QUINCENA.

1. Velocidad instantánea

2. De excursión

3. De regreso

4. Calcula las derivadas laterales...

5. Coste mínimo

6. A un vendedor de ordenadores...

7.  Busca la primitiva

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1. Velocidad instantánea

Un coche sale de una población y aumenta progresivamente su velocidad. La gráfica muestra el espacio recorrido por el automóvil en los diez primeros minutos

a)      Calcula la velocidad media en estos diez minutos

b)      El movimiento anterior se rige por la ecuación e(t)=0'1t², siendo e el espacio recorrido en el tiempo t. Calcula la velocidad media en los siguientes intervalos de tiempo:

[0,3], [0,5], [0,8], [2,4], [7,9], [8,10]

El dueño del coche ha recibido una multa por exceso de velocidad. En ella figuraba que había sido cometida la infracción a los ocho minutos de salir de la población anterior. Pero el conductor no recuerda la velocidad que marcaba el velocímetro del coche en ese instante. ¿Cómo podría obtenerla para comprobar que coincide con la del radar de la policía?

c)  Calcula la velocidad media en los intervalos de tiempo siguientes:

[8,9], [8,8'1], [8,8'01], [8,8'001]

Dispón los cálculos de la forma siguiente

d)  Y ahora en estos otros:

[7,8], [7'9,8], [7'99,8], [7'999,8]

Dispón los cálculos de la forma siguiente

e)  ¿Qué velocidad podemos conjeturar que llevaba a los ocho minutos de salir de la población?

f)  Siguiendo el procedimiento anterior, calcula la velocidad del coche a los tres minutos y a los siete minutos del recorrido

Respuesta

Calculo de  la velocidad media en estos diez minutos:  km/mi

  km/mi;  km/mi

  km/mi;  km/mi

  km/mi km/mi

La velocidad que llevaba a los 8 minutos es de 1'6 km/min =96 km/h, ya que en ambos casos, las sucesiones de números tienden a 1'6.

Puedes hacerlo por ti mismo como práctica y así podrás controlar si lo has entendido.

El resultado es v(3)=0'6 km/mi y v(7)=1'4 km/min.

Observa, por otra parte, que resultaría muy útil, obtener una función que nos diese el valor de la velocidad en cada instante t, sin tener que efectuar el proceso del límite en cada instante.

2. De excursión

Unos montañeros estudian el perfil de la pared que piensan escalar el fin de semana próximo. Han aproximado dicho perfil a un trozo de parábola de ecuación

y=–x²+6x (x e y en cientos de metros)

y han hecho el siguiente plano de la pared.

Les gustaría conocer la pendiente de la montaña en los puntos A y B, señalados en el plano de los montañeros. Para ello:

a)  Dibuja la gráfica de la función en el intervalo [0,1'5]. Hazlo en papel milimetrado y escoge la misma unidad para los dos ejes, de manera que una unidad sean 4 cm, procurando hacer la gráfica con la máxima precisión en el entorno del punto de abscisa 1

b) Traza aproximadamente la recta tangente y calcula su pendiente. Compara el resultado con el obtenido por tus compañeros. ¿Es posible calcular el valor exacto de la pendiente de la tangente? ¿Cuántos puntos de una recta se necesitan para determinar su dirección y por lo tanto para calcular su pendiente? Y en cambio, ¿cuántos puntos de la recta tangente conoces con total precisión?

c)  Calcula la pendiente de la recta que corta a la gráfica (recta secante) en los puntos de abscisa 1 y 1'5. Hazlo con toda precisión utilizando las coordenadas de los dos puntos obtenidas mediante la fórmula de la función

d) Dispón los cálculos de la forma siguiente, para calcular la pendiente en el punto A

e)  Observa las sucesiones de números de la última fila de las dos tablas: ¿hacia qué número tienden estas sucesiones? ¿Cuál crees que es el valor exacto de la pendiente de la recta tangente?

Respuesta

Te dibujamos a continuación la gráfica de la función f(x)=–x²+6x pero no a la escala que la piden en el enunciado. Trata de hacerlo tú, sobre papel milimetrado y comprueba que coincide:

Para que una recta quede determinada totalmente, son necesarios al menos dos puntos. Con un solo punto no podemos dibujarla exactamente (el lápiz se nos puede inclinar un poco más o un poco menos al trazar una recta que pase por dicho punto).

La recta secante que pasa por los puntos (1,5) y (1'5, 6'75), tiene por pendiente:

Si dibujamos la gráfica de ambas, resulta:

Si completamos la tabla resulta:

Lo que obtenemos son las pendientes de las distintas rectas secantes trazadas desde el punto A(1,5) hasta el punto P(x,f(x)), siendo x el valor que aparece en la primera fila de cada una de las tablas.

En ambos casos las sucesiones de números que obtenemos tienden a 4, por lo que podemos asegurar que la pendiente de la recta tangente en A(1,5) es 4.

Observa también, que la recta tangente es la recta límite de todas las rectas secantes así obtenidas, tanto por la derecha como por la izquierda del punto A.

3. De regreso

La siguiente gráfica posición–tiempo, muestra la distancia a que se encuentra del punto de partida el coche en el que viaja una familia, que regresa de visitar a los abuelos, y que se desplaza de Callosa de Segura a Alicante

La distancia viene dada en Km. Esta distancia, d, es función del tiempo, t, dado en minutos.

1. ¿Qué distancia en total ha recorrido durante este viaje? ¿Cuál ha sido la duración del viaje?

2. ¿Cuál ha sido la velocidad media del coche durante el viaje?

3. ¿Cuál ha sido la velocidad media que ha llevado por la autopista? ¿Y si descuentas el tiempo que ha estado parado?

4. ¿Cuál ha sido la velocidad media entre el instante que marca 29 minutos y el instante que marca 34 minutos?.

5. ¿Podrías determinar la velocidad que llevaba exactamente en el instante t=2 minutos? ¿Y en t=32 minutos?

Respuesta

La gráfica se ha hecho definiendo una función a trozos, mediante rectas y parábolas.

Se trata de una función que está definida en 6 trozos diferentes y que a continuación escribimos:

La forma de obtener los trozos en que la función es una recta es haciéndola pasar por los puntos correspondientes.

Así por ejemplo, el primer trozo es una recta que pasa por los puntos (0,0) y (3,2'5).

Su ecuación será          y=mx+n

Por pasar por (0,0) Þ n=0

Por pasar por (3,2'5) Þ 2'5 =3m Û m= (ten en cuenta que 2'5= )

Por lo tanto la recta correspondiente a ese trozo es   (0£x£3).

Para obtener la ecuación de la parábola, en los tramos en que la función es una parábola, hemos de tener en cuenta que la ecuación de una parábola de vértice(p,k) es

y=a(x–p)²+k

y que calculamos a imponiendo la condición de que la parábola pase por algún punto (distinto del vértice).

Así por ejemplo, el tramo de parábola comprendido entre ]29,34], tiene el vértice en el punto (29,45) y pasa por el punto (34,48), luego:

Ecuación de la parábola           y=a(x–p)²+k

Como el vértice es el punto      (29,45)

nos queda                                y=a(x–29)²+45

Como pasa por (34,48)           48=a(34–29)²+45 Û 3=25a Û 

Y dicho trozo de parábola tendría por ecuación

La distancia recorrida durante todo el viaje es de 48 km. Basta con observar la gráfica.

Si queremos obtener la velocidad media durante el viaje, dividimos la distancia recorrida entre el tiempo empleado en recorrerla, que sería

   km/mi = 84'6 km/h

De nuevo hemos de hallar la velocidad media, ahora por la autopista. El tramo de autopista abarca desde el kilómetro 2'5 hasta el 45, es decir 42'5 km, y tarda en recorrerlos 26 minutos, por lo que la velocidad media en el tramo de autopista es de

   km/mi =97'8 km/h

Si descontamos el tiempo que ha estado parado, que se corresponde con el trozo de gráfica horizontal, y que son 5 minutos, entonces la velocidad media en autopista habría sido de

   km/mi =121'4 km/h

De nuevo, puesto que a los 29 minutos había recorrido 45 km y a los 34 minutos había recorrido 48 km, esto significa que ha recorrido 3 km en 5 minutos, por lo que su velocidad media en ese intervalo de tiempo fue de

   km/mi =36 km/h

Para calcular la velocidad en el instante t=2 minutos, no hay ningún problema, ya que el movimiento es uniforme. Dicha velocidad coincide con la pendiente de la recta que es 5/6. Es decir

   km/mi Þ v_m=50 km/h

En cambio, en el minuto 32, se hace necesario calcular la velocidad media en un intervalo que cada vez sea más pequeño, y alrededor de 32 minutos.

Esto nos obliga a calcular el siguiente límite :  . Una posible forma de hacerlo es la siguiente:

Obtenemos en primer lugar la fórmula de la función, que por tratarse de una parábola de la que conocemos el vértice y un punto por el que pasa, no nos resulta complicado.

Según hemos visto  .

Hemos de calcular la derivada analíticamente, siguiendo la “regla de los cuatro pasos” y calculando el límite.

Debes tener en cuenta que el cálculo de f '(32) siguiendo la regla de los cuatro pasos, se debe a que todavía no hemos visto las reglas de cálculo de derivadas. Las veremos la próxima quincena, y nos ahorrarán el proceso de calcular dicho límite.

Pero en estos momentos, hemos de calcularlo. Sigamos, pues la regla de los cuatro pasos:

1º) Calculamos f(32+h) y f(32):

  =

                 =

Nota: no calculamos f(32) porque al restar ambos valores estos términos desaparecen.

2º) Calculamos f(32+h)–f(32).

f(32+h)–f(32)=  – =

3º) Dividimos y calculamos

  =

4º) Calculamos 

  = =0'72 km/mi =43'2 km/h

Por tanto, podemos asegurar que la velocidad a los 32 minutos era de 43'2 km/h.

4. Calcula las derivadas laterales de la función   en x=0

Respuesta

Se trata de una función con la que hay que llevar cuidado, ya que a simple vista, podría dar la impresión de que f_–^'(0)=(x+2)'=1 y que f₊^'(0)=(x–3)'=1, y por lo tanto, al coincidir las derivadas laterales, f sería derivable en x=0 y además f '(0)=1,

¡Pues bien, no es así! :)

Si prestamos un poco de atención, observaremos que la función es discontinua en x=0, ya que 

   y       

y al no coincidir los límites laterales, la función es discontinua de salto finito para x=0, y por lo tanto, no puede ser derivable en x=0.

¿Qué ocurre entonces?

El procedimiento seguido para calcular las derivadas laterales no es válido porque la función es discontinua en x=0.

Para obtener dichas derivadas laterales, hemos de acudir a la definición de derivada lateral. Así:

I)         Calculamos la derivada por la izquierda de x=0

   sería la forma de calcular la derivada por la izquierda de cero. Para ello, seguimos la regla de los cuatro pasos.

1º) Calculamos f(0+h) y f(0):

f(0+h)=0+h+2=h+2            y        f(0)=2 (ten en cuenta que h<0)

2º) Calculamos f(0+h)–f(0).

f(0+h)–f(0)=h+2–2=h.

3º) Calculamos

  =

4º) Calculamos 

II)      Calculamos la derivada por la derecha de x=0

 sería la forma de calcular la derivada por la izquierda de cero.

Para ello, seguimos la regla de los cuatro pasos.

1º) Calculamos f(0+h) y f(0):

f(0+h)=0+h–3=h–3             y        f(0)=2 (ten en cuenta que h>0)

2º) Calculamos f(0+h)–f(0).

f(0+h)–f(0)=h–3–2=h–5.

3º) Calculamos

  = .

4º) Calculamos 

es decir, no existe la derivada a la derecha de cero.

Gráficamente, lo que sucede es lo siguiente:

2.  Coste mínimo

" Se encarga a un constructor unos bloques de viviendas y quiere, como es natural, minimizar el coste del apartado referente a ventanas, de manera que, manteniendo la misma luz, la misma superficie de ventana, el coste del marco sea mínimo."

 He aquí cuatro ventanas:

Todas las ventanas tienen la misma luz, 1 m², pero es evidente que el marco de la cuarta ventana es más caro que el de las otras tres, porque tiene más perímetro.

Entre todas las posibles ventanas de 1 m² ¿cuál será la de marco más barato? Lo que hay que estudiar es, por supuesto, el perímetro.

Respuesta

Si estudiamos la función que nos dé el perímetro de la ventana, tendremos que 

p(x)=2x+2y

siendo x e y las dimensiones de la ventana.

Por otra parte, S=xy es la superficie de dicha ventana, que es 1 m², por lo que

xy=1

De esta última igualdad se deduce que 

ya que ninguna de las dimensiones de la ventana es cero.

Por tanto, la función que nos da el perímetro de la ventana es

ya que ninguna de las dimensiones de la ventana es cero.

El posible máximo se encontrará en aquél punto en el que cambie de signo la derivada, por lo que hemos de calcular la derivada de p(x), y para ello hemos de escribir la función p(x) de la forma 

p(x)=2x+2x^–1

De esta forma, aplicando las reglas de cálculo de derivadas, será

p'(x)=2+2·(–1)·x^–2= 

Para estudiar si hay algún valor de x en el que p'(x) cambie de signo, vamos a calcular para qué valor de x se anula:

p'(x)=0 Û  =0 Û    Û x²=1 Û x=±1.

En este caso, no tiene sentido un valor de x negativo, por lo que estudiamos el signo de p' a izquierda y derecha de x=1.

Para ello, rellenamos la siguiente tabla (tabla del crecimiento):

Siguiendo las flechas, observamos que en x=1, la función alcanza un mínimo relativo.

Así pues, para que el perímetro sea  mínimo, y por lo tanto el marco más barato, las dimensiones de la ventana han de ser de 1 m por cada lado.

El perímetro mínimo de dicha ventana será de 4 m.

5. A un vendedor de ordenadores le cuesta 841'42 euros cada modelo de la marca PCHE-COMP. Ha comprobado que al precio de 1441'42 euros/unidad, vende 30 ordenadores mensualmente y que, por cada 12 euros de descuento en el precio, puede vender 3 unidades más al mes. Halla a qué precio debe venderlos para obtener el máximo beneficio posible.

Respuesta

Hemos de obtener la función que nos dé los ingresos, que se obtendrá multiplicando el número de ordenadores vendidos, por el beneficio que obtiene con cada uno de ellos.

Esto depende del descuento que se haga. Si llamamos n al número de veces que descontamos 12 euros, la función que nos da el beneficio sería:

B(n)=(1441'42–841'42–12n)(30+3n)=(600–12n)(30+3n),

siendo nÎ[0,50], ya que si el beneficio que obtiene por cada ordenador, sin hacer ningún tipo de descuento, es de 600 euros, no tiene sentido que descuente más de esos 600 euros.

Hemos de obtener, pues, el máximo de la  función B(n), en un intervalo cerrado. Eso quiere decir que, en principio, hemos de tener en cuenta el valor de dicha función en los extremos de dicho intervalo, ya que ahí podría encontrarse su valor máximo.

Sin embargo, para obtener dicho valor máximo, podríamos tener en cuenta que se trata de una parábola convexa, por lo que su valor máximo se encuentra en el vértice de dicha parábola, lo que quiere decir que si éste se encuentra en [0,50], será el máximo buscado.

Y podemos hallar el vértice de varias formas:

·        Como el valor para el que se anula la derivada: B'(n)=0 Û n=20.

Veamos que es así.

B(n)=(600–12n)(30+3n)=–36n²+1440n+18000

B'(n)=–72n+1440

B'(n)=0 Û –72n+1440=0 Û 

·        Como el punto medio entre las raíces de la ecuación de segundo grado correspondiente. Las raíces son n=50 y n= –10 (sin sentido), y el punto medio, que es el que buscamos en realidad, es  .

Así pues, puesto que 20Î[0,50], hemos encontrado el número de descuentos que debe hacer para que el beneficio sea máximo.

El precio al que debe venderlos será de 1441'42-12·20=1201'42 euros.

Venderá 90 ordenadores y obtendrá un beneficio de 32400 euros

Gráficamente:

6.  Busca la primitiva

Siendo las gráficas de las funciones derivadas x ® f'(x), las indicadas en las figuras siguientes, dibuja con el mayor cuidado posible la forma de las correspondientes funciones primitivas  x ® f(x).

Respuesta

Resolveremos tan solo el último apartado. La gráfica de f ' es:

A partir de dicha gráfica, podemos obtener la tabla de crecimiento de la función, y con dicha tabla, podemos obtener la gráfica de f.

Para poder completar la tabla, nos fijamos en los puntos de corte de la gráfica con el eje de abscisas, que son x₁=–2, x₂=–1 y x₃=2, de manera que tenemos cuatro zonas en donde estudiar el signo de f '.

Dicho signo, dependerá de que en la zona en cuestión, la gráfica esté por encima del eje de abscisas (signo positivo) o por debajo del mismo (signo negativo).

La tabla sería la siguiente:

La forma de la gráfica de f nos la dan las flechas.

Una posible solución sería: (están dibujadas las gráficas de f ' y de f)

Observa que:

·        Los puntos de corte de f ' con el eje de abscisas corresponden a máximos o mínimos relativos, porque además de cortar al eje, f' cambia de signo ("pasa de arriba abajo del eje o de abajo a arriba").

·        También puedes observar que los puntos en los que f ' alcanza un máximo o un mínimo relativo, se corresponden con puntos de la gráfica de f en donde esta cambia la forma de la curva. Así, a la izquierda de x@–1'5 f es convexa, mientras que a la derecha es cóncava. Este tipo de puntos se llaman puntos de inflexión. También x@1 es un punto de inflexión.

¿Cuántas soluciones habrá para la función f? Queda claro que todas aquellas funciones que mantengan esta forma, siempre que los máximos y los mínimos los alcancen en dichos puntos.

Es decir, dada una solución para la gráfica de f, si ésta la desplazamos hacia arriba o hacia abajo, la nueva gráfica que obtengamos también será válida, es decir, tendrá la misma función derivada.

Así pues, pueden haber funciones distintas que tengan la misma derivada. Las gráficas de todas ellas se encontrarán desplazadas hacia arriba o hacia abajo.

¿Qué ocurriría si restamos dos de tales funciones? Si te fijas un poco, la resta siempre dará lo mismo: lo que esté desplazada una respecto a la otra.

Observa estas gráficas:

Ambas tienen como derivada la función f ' cuya gráfica nos dan al principio. Las dos funciones se diferencian en 2 unidades. Es decir, si llamamos f a la función que está por encima y g a la que está por debajo, se cumplirá que

f–g=2

Y cualquier par de funciones cuya derivada sea f ', cumplirán que su diferencia es una constante.

Para terminar, dibujamos la gráfica de f ' y la de dos posibles soluciones (están dibujadas junto con la gráfica de f '):

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