PROBLEMAS RESUELTOS 10ª QUINCENA.

Puedes encontrar los enunciados en el libro de Matemáticas 1. 1º Bachillerato . Ciencias

de la Naturaleza y la Salud. Grupo Eureka: Luis Botella, Bernardina Cascón, Carmen

Martín, Luis M. Millán,  Carmen Pérez y Enrique Salinas. Editorial Marfil.

1.  Sociedad anónima

2.  Parábolas y ecuaciones de 2º grado

3.  La caja

4.  Las funciones polinómicas y la factorización de polinomios

5.  El laboratorio farmacéutico

6.  Desintegración radiactiva

7.  Intereses ¿imposibles?

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1.   Sociedad anónima

Una determinada sociedad es propietaria de dos empresas, A y B, de las que la primera pierde 9.000 euros cada año, mientras que la segunda gana 24.000 euros cada año. Las dos empresas comenzaron sus actividades al mismo tiempo: A con 110.000 euros de capital inicial y B con 36.000.

a)    Escribe las dos funciones que indiquen cómo varía con el tiempo el capital de cada una de las empresas, y la función que da el capital de la compañía.

b)   Representa gráficamente estas tres funciones en unos mismos ejes de coordenadas.

c)    ¿Llegarán a disponer del mismo capital las dos empresas? ¿Cuándo?

d)   ¿Cuándo será de 50 millones el capital de la sociedad?

Respuesta

a)    Las funciones que nos dan el capital en euros, son A(t) =  -9.000·t + 110.000 y B(t) = 24.000·t + 36.000, para cada sociedad y C(t)=15.000t+146.000 para la compañía, siendo t el tiempo en años.

b)   Las gráficas correspondientes son tres líneas rectas, por tratarse de funciones polinómicas de primer grado.

c)    En el punto en que se cortan las gráficas de A y B, el capital de ambas empresas será el mismo.

Sobre la gráfica, parece que corresponde a t=2'25 años.

Si queremos calcular el valor exacto, debemos resolver la ecuación

-9.000·t + 110.000=24.000·t + 36.000

110000–36000=24000t+9000t Û 74000=33000t Û t= años.

d)   Sobre la gráfica, deberíamos trazar una línea horizontal a la altura de y=300000 y ver en qué punto corta a la gráfica de la Sociedad.

Algebraicamente, hemos de resolver la ecuación

15.000t+146.000=300.000 Û 15t+146=300 Û 15t=154 Û t=años

2.  Parábolas y ecuaciones de 2º grado

Respuesta

Se trata de relacionar la gráfica, los puntos de corte con el eje de abscisas y las soluciones de la ecuación de segundo grado correspondiente, tras completar la tabla.

También puede resultar interesante obtener el vértice de cada parábola  y comprobar que coincide con el punto de la gráfica correspondiente.

He aquí las soluciones:

3.   La caja

De una lámina de cartón cuadrada de 24 cm de lado, queremos fabricar una caja sin tapa. Podemos hacerla cortando cuadrados en las esquinas y doblando por los lados:

Si queremos que la caja tenga el máximo volumen posible ¿De qué tamaño serán los cuadraditos que se corten?

Respuesta

Si llamamos x al lado del cuadradito que recortamos, entonces el volumen de la caja, que se obtiene multiplicando sus tres dimensiones, sería

V(x) = x.(24–2x).(24–2x) = x. (24–2x)² = 576.x – 96x² +4x³

Obtenemos, pues, una función polinómica de tercer grado.

Hemos de observar, por otra parte, que x no puede tomar cualquier valor, sino que xÎ[0,12] (¿por qué? ¿Qué sentido tienen los valores x=0 y x=12?)

Podemos intentar dibujar su gráfica a partir de una tabla de valores, que podría ser la siguiente:

La gráfica que se obtiene es

Podemos observar que el valor máximo se obtiene cuando x=4.

Podríamos afinar más, si obtenemos la tabla de la función para valores cercanos a 4. Esto lo podríamos conseguir con la ayuda de una calculadora gráfica, con la que podemos obtener la siguiente tabla:

4.  Las funciones polinómicas y la factorización de polinomios

Respuesta

En esta actividad, vamos a darte las soluciones y escribiremos al final las principales conclusiones. Debes estudiarla detenidamente porque te permitirá hacer un esbozo de la gráfica de casi todas las funciones polinómicas, a partir de unos pocos datos de la misma, como son:

·        Sus raíces y la multiplicidad de éstas.

·        Comportamiento de la función para valores muy grandes de x y muy negativos de x (es decir cuando x®+¥ y cuando x®–¥).

Podemos concluir que:

5.      El laboratorio farmacéutico

El laboratorio “La Pastilla Feliz” está realizando estudios sobre la efectividad de un nuevo compuesto. Han observado que, al variar la dosis de un componente del mismo, varía el porcentaje de curaciones en animales de laboratorio. Y esto ocurre según la función:

donde “y” es el porcentaje de curaciones y “x” la cantidad, en miligramos, del componente citado.

a)    ¿Cómo influye ese componente en los efectos sobre el paciente?

b)   ¿Cómo representarías esa función gráficamente?

Respuesta

a)         Se trata de una función racional, por lo que si aumentamos la dosis de dicho componente, resultará que se obtiene la siguiente tabla de valores:

Vemos, pues, que a medida que aumenta la dosis de dicho componente, aumenta también el porcentaje de curaciones, pero no aumenta indefinidamente, sino que tiende a estabilizarse alrededor de un valor, que en este caso es del 75%.

Desde el punto de vista matemático, diríamos que dicha función racional presenta una asíntota horizontal en y=75, y escribiríamos

b)        Para representar gráficamente la anterior función, dentro del contexto, ya que se trata de una función racional,  hemos de estudiar su dominio, sus asíntotas y los puntos de corte con los ejes.

Ya hemos visto que la función:

1.      Su dominio, dentro del contexto, serían todos los números reales no negativos, es decir el [0,+¥[.

2.      Presenta una asíntota horizontal en y=75, a la que se acerca siempre por debajo de ella (toma valores menores que 75).

3.      Corta al eje de ordenadas en y=0 Þ x=0. Es decir, en el punto (0,0).

4.      Corta al eje de ordenadas en x=0 Þ y=0. Es decir, en el punto (0,0).

5.      Va creciendo, es decir, se trata de una función estrictamente creciente.

Con todo esto, podemos dibujar su gráfica, que es:

La recta corresponde a la asíntota.

Si consideramos la función fuera de su contexto, es decir, como función matemática, entonces su dominio es más amplio, ya que tan sólo tendríamos que desechar aquel o aquellos valores de x que anulan el denominador, que en este caso serían:

x+1=0 Û x=–1

Luego D_f=R–{–1}.

Si además obtenemos una tabla de valores cerca de –1, vemos que:

Es decir, para valores de x cada vez más próximo a –1 por la izquierda, la función toma valores cada vez mayores, y además tan grandes como queramos, por lo que decimos que

Análogamente., para valores de x cada vez más próximo a –1 por la derecha, la función toma valores cada vez más negativos, y además tan negativos como queramos, por lo que decimos que

Así pues, x=–1 es una asíntota vertical, y la gráfica de la función, como función matemática, sería

Las rectas corresponden a las asíntotas.

Observa que las escalas empleadas en ambas gráficas son diferentes, por lo que podrías preguntarte hasta qué punto es importante la escala elegida para representar la gráfica de una función.

6.  Desintegración radiactiva

Ü     Observa la siguiente tabla en la que se indica el periodo de semidesintegración de algunos elementos:

Ü     Si tenemos 10 g de talio, ¿qué cantidad de sustancia queda al pasar 4.2 minutos?, ¿Y al pasar 8.4 minutos? ¿Y al pasar 42 minutos? ¿Y al cabo de un tiempo t?

Ü     ¿Cuánto tiempo habría de pasar para que los 10 g de talio se hubiesen reducido  a 1.25 g?

Ü     Representa gráficamente la función que nos da la cantidad de talio que nos queda en función del tiempo que pasa.

Respuesta

a)         Podríamos completar una tabla para tratar de obtener la función que nos dé los gramos de talio al cabo de un tiempo t:

Observamos que cada vez que pasan 4'2 minutos, la cantidad de talio se reduce a la mitad, por lo que para saber la cantidad de talio que hay al cabo de un tiempo t, hemos de dividir entre 2 tantas veces como periodos de 4'2 minutos hayan en ese tiempo t, es decir:

Se trata de una función exponencial.

Al cabo de 42 minutos, la cantidad de talio que habrá será

 g

b)        Si observamos la tabla, vemos que han de pasar 12'6 minutos, pero, ¿cómo obtenerla si no estuviese en la tabla? Deberíamos resolver la ecuación:

 Û  Û 0'125=2^–t/4'2 Û 2^–3=2^–t/4'2 Û  Û t=12'6 minutos

Hemos tenido que resolver una ecuación exponencial, que se ha reducido a una ecuación de primer grado con una incógnita, porque hemos conseguido expresar ambos miembros como potencias de la misma base.

c)         La gráfica de dicha función es

¿Qué sentido tienen los valores de t<0?

7.   Intereses ¿imposibles?

Si colocamos diez mil euros al 3% al cabo de un año dispondremos de 10300 euros, ¿de cuántos dispondríamos al cabo de 3 años? ¿y al cabo de n años?

¿Cuánto tendríamos que haber colocado hace 10 años para tener ahora diez mil euros?

Respuesta

En este caso, el interés interpretaremos que es compuesto, es decir, que se añade al capital para producir nuevos intereses.

Así pues, teniendo en cuenta que si nos dan el 3% de interés, cada euro se transforma en 1'03 euros, obtendríamos la siguiente tabla de valores:

Por lo tanto, la función que nos da el capital al cabo de un tiempo t, es

C(t)=10000·1'03^t.

Al cabo de 3 años, dispondríamos de C(3)=10000·1'03³=10927'27 euros

Al cabo de n años, dispondríamos de C(n)=10000·1'03ⁿ

Para saber cuánto tendríamos que haber colocado hace diez años para tener ahora 10000 euros, hemos de resolver la ecuación exponencial

10000=C·1'03¹⁰ Û C= euros.

Ampliación: ¿Cuánto tiempo tendría que pasar para que los 10000 euros iniciales se convirtiesen en 20000?

Para resolver esta ecuación, necesitaríamos conocer la función que nos dé el tiempo dependiendo del capital, que sería la función inversa de la anterior.

A la función inversa de la exponencial se la llama función logarítmica, y teniendo en cuenta que

log_ax=y Û a^y=x

resulta que

y=10000·1'03^t Û   Û  .

Hagamos un pequeño inciso, que en realidad no es necesario para resolver esta ampliación de la actividad:

Observa los pasos que hay que dar para obtener la función inversa de una función dada:

·        Se despeja la variable independiente (generalmente x) en función de la variable dependiente (generalmente y).

·        Si la inversa es una función y se quiere expresar como una función en la que la variable independiente siga siendo la x, entonces hemos de intercambiar las letras x e y entre sí.

En nuestro caso, si escribimos la función que nos da el capital en función del tiempo como

f(x)=y=10000·1'03^x

entonces

y la función inversa sería

  ^.

Hecho ya el inciso, continuamos con la actividad:

Para calcular t, necesitamos calcular un logaritmo en base 1'03, y en la calculadora es posible que no encontemos esta opción, ya que los únicos logaritmos que con seguridad se pueden obtener con la calculadora son los de base diez (logaritmos decimales, tecla log), y los de base el número e, (logaritmon neperianos, tecla ln)

Así pues, tenemos que utilizar la fórmula del cambio de base.

La ecuación que queremos resolver es

20000=10000·1'03^t Û 2=1'03^t Û log_1'032=t

por tanto

t= años

Así pues, tendría que pasar un poco más de 23 años.

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