problemas resueltos 8ª quincena

PROBLEMAS RESUELTOS 8ª QUINCENA.

(II)

Puedes encontrar algunos de los enunciados en el libro de Matemáticas 1. 1º Bachillerato . Ciencias de la Naturaleza y la Salud. Grupo Eureka: Luis Botella, Bernardina Cascón, Carmen Martín, Luis M. Millán, Carmen Pérez y Enrique Salinas. Editorial Marfil.

Dos dados.
Ruleta
Detergentes "El Limpio".
Volando, volando

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1. Dos dados.

Lanzamos dos dados simétricos. Vamos a estudiar la suma de las puntuaciones obtenidas en ambos.

a) Escribe el espacio muestral de la experiencia

b) Calcula la probabilidad de cada suceso elemental

Respuesta.

a) El espacio muestral es E={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}

b) Si queremos calcular cuál es la probabilidad de cada suceso elemental, podemos obtener la tabla de las sumas que pueden obtenerse:

	1	2	3	4	5	6
1	2	3	4	5	6	7
2	3	4	5	6	7	8
3	4	5	6	7	8	9
4	5	6	7	8	9	10
5	6	7	8	9	10	11
6	7	8	9	10	11	12

Si llamamos X="puntuación obtenida", tendremos que:

X	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
p(X)

No hemos simplificado el valor de las probabilidades obtenidas para que puedas compararlas de forma inmediata.

Observa que la suma que mayor probabilidad tiene de salir es 7.

La variable X que hemos definido es una variable aleatoria discreta, y la tabla así obtenida define su función de probabilidad.

Si sumamos todas las probabilidades obtenidas, el resultado es 1.

El histograma correspondiente sería:

Observa que:

· Los rectángulos del histograma tiene de base 1 y ésta está centrada en el valor de la suma correspondiente.

· El área del rectángulo coincide con la probabilidad de que la variable X tome el valor correspondiente.

· La suma de las áreas de todos los rectángulos es 1.

2. Ruleta

Una ruleta está dividida normalmente en 37 sectores iguales. En un barracón de feria se ofrece el siguiente juego: la ruleta está pintada con tres colores; rojo para los números del 1 al 21, verde del 22 al 35 y amarillo para el 0 y el 36.

Debes dar 50 pesetas para poder jugar. Si la bola cae en rojo, no ganas nada; en el verde ganas 100 pesetas y en el amarillo ganas 200 pesetas.

a) ¿Crees que te interesa jugar?

b) ¿Cuánto esperas ganar o perder en 100 partidas?.

Respuesta.

a) Para ello deberíamos calcular cuanto cabe esperar que ganemos por término medio, y eso depende de dónde caiga la bola, de lo que ganemos al caer en dicho lugar y de la probabilidad de que la bola caiga en cada una de las zonas.

Sean los sucesos R="Sale rojo"; V="sale verde"; A="sale amarillo".

Se tiene entonces:

p(R)=; p(V)=; p(A)=.

Esto significa que, por término medio, por cada 37 jugadas, en 21 ocasiones sale rojo, en 14 sale verde y en 2 sale amarillo.

Por lo tanto, lo que cabe esperar que lo que ganemos en cada jugada, por término medio es:

G=·0+·1+·2==0'49 euros

Puesto que tenemos que pagar 0'5 euros para poder jugar, está claro que por término medio, en cada jugada perdemos 0'01 euro, luego no nos interesa jugar.

b) Al cabo de 100 partidas, cabe esperar que perdamos 100·0'01=1 euro.

Observa que si llamamos X= "ganancia en euros", tenemos definida una variable aleatoria, de forma que

p(X=0)= ; p(X=1)= y p(X=2)=

y lo que esperamos ganar por término medio, en cada partida, es la esperanza matemática de la variable X, E(X).

Para que el juego sea justo, no debemos ganar ni perder nada, por lo que, teniendo en cuenta que para jugar hemos de pagar 0'5 euros, el juego será justo si E(X)=0'5.

3. Detergentes "El Limpio".

El departamento de estudios de mercado de detergentes “El Limpio” ha estimado que el porcentaje de hogares que utiliza su marca es del 25%.

a) En una muestra de 12 hogares, calcula cuál es la probabilidad de que:

· Encontremos un número de usuarios de la marca en cuestión comprendido entre 9 y 11.

· Al menos se utilice en 3 hogares.

b) ¿Qué tamaño debe tener la muestra elegida para tener una probabilidad de al menos el 75% de encontrar en ella algún hogar que utilice el detergente?.

c) La marca “Más Limpio” ha realizado un estudio por el que ha llegado a la conclusión de que, eligiendo muestras de 5 hogares, en el 20% de los casos ninguno de ellos utiliza el detergente. ¿Cuál de las dos marcas es la más vendida?.

Respuesta.

Sea K="número de hogares que usan dicha marca de detergente".

K es una variable aleatoria discreta que sigue una distribución de probabilidad binomial, ya que:

· Si realizamos n pruebas, sólo pueden haber dos resultados posibles (o usan dicha marca o no la usan).

· Cada prueba es independiente de las demás, ya que el hecho de que en un hogar usen dicha marca, no depende para nada de que la usen o no la usen en otro hogar.

Por otra parte, del enunciado se deduce que p=0'25 y que q=1–p=0'75.

Expresamos esto indicando que K es una B(n,0'25).

c) Si la muestra es de 12 hogares, entonces n=12, y K es una B(12,0'25).

1) Lo que nos piden es p(9£K£11)=p(K=9)+p(K=10)+p(K=11).

En nuestro caso:

p(K=9)=@0'000354

p(K=10)=@0'0000354

p(K=11)=@0'000002

Con lo cual p(9£K£11)=p(K=9)+p(K=10)+p(K=11)@0'0004.

2) En este caso tenemos que obtener p(K³3)==0'6093.

d) Tenemos que calcular n de modo que p(K³1)³0'75, o lo que es lo mismo, para que p(K=0)£0'25, ya que se trata de sucesos contrarios.

p(K=0)==0'75ⁿ Þ 0'75ⁿ£ 0'25 Û n³5.

Así pues, la muestra debe ser de al menos 5 hogares.

Se trata de calcular p para una B(5,p), sabiendo que p(K=0)=0'2. Así pues:

p(K=0)==(1–p)⁵=0'2 Û Û @ 0'2752.

Por lo tanto, el porcentaje de hogares que utilizan la marca "Más Limpio" es del 27'52%@ 28%, superior al de hogares que utilizan la otra marca.

4. Volando, volando.

Quien tiene costumbre de viajar en avión, sabe que en determinadas épocas (comienzo y final de vacaciones, un puente,…), es fácil que, pese a tener billete, al llegar al aeropuerto nos digan que el vuelo ya está completo. Es lo que se conoce como “overbooking”, y se produce porque se ha vendido más billetes que plazas tiene el avión.

Ello se debe a que las compañías aéreas suelen dar facilidades a los clientes en el sentido de cambiar las fechas o devolver el dinero si éstos no se presentan al vuelo para el que tenían reservada plaza. Suelen, pues, vender más billetes de los disponibles en cada vuelo.

Una cierta compañía tiene comprobado tras muchos años de experiencia que, por término medio, un 5% de personas no se presentan al vuelo para el que tienen reserva de plaza. Por ello, para los aviones Airbús, que tienen una capacidad de 270 pasajeros, suelen vender 285 billetes.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el avión viaje completo y no haya “overbooking”?

b) Calcula la probabilidad de que un vuelo no tenga problemas, es decir, se presenten como máximo 270 pasajeros.

c) ¿Y la de que haya “overbooking”?

d) La compañía realiza 300 vuelos mensualmente con este tipo de aviones. ¿cuál es el número probable de vuelos con “overbooking”?

e) ¿Cuántos billetes debe vender la compañía para que la probabilidad de que se produzca “overbooking” no supere el 2%?

Respuesta.

Un 5% de pasajeros no se presenta al vuelo para el que han adquirido los billetes. Sea p la probabilidad asignada al hecho de que un pasajero se presente al vuelo, y sea K la variable aleatoria que nos da el número de pasajeros que se presenta al vuelo de los 285 que tienen billete.

Tenemos p = 0’95 y K es una B(285, 0’95). Así pues,

m = n · p = 285·0’95 = 270’75

s² = n · p · q = 285 · 0’95 · 0’05 = 13’5375 > 9 (1)

s = » 3’68

La condición (1) nos permite aproximar los cálculos mediante la variable aleatoria X que será una N(270’75, 3’68). Llamaremos Z a la variable aleatoria N(0, 1).

e) Se pide:

P(K=270) @ P(269’5 £ X £ 270’5) =

= P(–0’34 £ Z £ –0’07) = F(–0’07) – F(–0’34)

= F(0’34) – F(0’07) = 0’6331 – 0’5279 = 0’1052

f) P(K £ 270) @ P(X £ 270’5) = = P(Z £ –0’07) =

=1–F(0’07)=0’4721@0'47 (ver tabla de la distribución normal)

g) P(K > 270) @ 0’53

h) En este caso, trabajamos con 300 vuelos, siendo la probabilidad de tener problemas de 0’53 en cada uno de ellos. Trabajamos, pues, con una B(300, 0’53) y el número esperado de vuelos con problemas es
m = 300 0’53 = 159.

i) Se trata ahora de calcular el mayor n para el que P(K > 270) £ 0’02, siendo K una B(n, 0’95).

m = 0’95·n

s =

P(K > 270) » P(X > 270’5) siendo X una N(0’95n, )

= £ 0’02 donde Z es la N(0, 1)

Si llamamos , se trata de calcular a para que

P(Z > a) = 1 – F(a) £ 0’02 Û F(a) ³ 0’98 Û a ³ 2’06 Û

Podemos resolver la inecuación tanteando con valores de n próximos a 270. Si lo hacemos, veremos que el máximo número de billetes que se puede vender en esas condiciones es de 276.

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