PROBLEMAS RESUELTOS 5ª QUINCENA.
(II)
Puedes encontrar los enunciados en el libro de
Matemáticas 1. 1º Bachillerato . Ciencias de la Naturaleza y la Salud. Grupo
Eureka: Luis Botella, Bernardina Cascón, Carmen Martín, Luis M. Millán,
Carmen Pérez y Enrique Salinas. Editorial Marfil.
quinta quincena problemas resueltos I página principal sexta quincena
1. Dado un segmento de extremos A(x1,y1) y B(x2,y2), obtén las coordenadas de su punto medio.
Respuesta
Dado un segmento de extremos A(x1,y1) y B(x2,y2), si M(x,y) es el punto medio de dicho segmento, deberá cumplirse que
Û
(x2–x1,y2–y1)=2·( x–x1,y–y1)
Por lo tanto
x2–x1=2x–2x1
Û
y2–y1=2y–2y1
Û
Es decir, las coordenadas del punto medio de un segmento, se obtienen como semisuma de las coordenadas de sus extremos.
Respuesta
Vamos a obtener una ecuación de primer grado con dos incógnitas, cuyas soluciones corresponden a coordenadas de puntos que, al dibujarlos, se encuentran todos ellos alineados sobre la misma recta. Por eso, a dicha ecuación se le denomina ecuación de la recta. Veremos que puede darse de varias formas distintas.
Una recta, r, queda perfectamente determinada si conocemos
· 2 puntos A(x1,y1) y B(x2,y2), o
·
1 punto y un vector de dirección
o
· 1 punto y su pendiente ( o el ángulo,a, que forma con el eje OX). La pendiente de una recta es la tga.
En lo que
sigue, supondremos que la recta viene determinada por un punto P(x1,y1)
y un vector de dirección ,lo que expresaremos de esta forma:
.
|
 
|
Si X(x,y)
es un punto cualquiera, para que sea un punto de la recta r deberá cumplirse
que el vector Pero esto significa que ambos vectores han de ser linealmente dependientes, es decir
|
Si esta última igualdad la expresamos en términos de coordenadas, nos quedaría
(x–x1,y–y1)=l(v1,v2) Û (x,y)= (x1,y1)+ l(v1,v2) ecuación vectorial
Si en la ecuación vectorial igualamos coordenada a coordenada, nos quedan las ecuaciones:
ecuaciones paramétricas.
Dando valores a l obtendremos las coordenadas de los puntos de la recta. Esta ecuación resulta especialmente útil si queremos obtener dichas coordenadas.
Si en las ecuaciones paramétricas eliminamos el parámetro l, resulta la siguiente ecuación:
ecuación en forma continua
Observa que la ecuación en forma continua proporciona información, de forma inmediata, sobre las coordenadas de un punto por el que pasa la recta y sobre las coordenadas de su vector director (denominadores).
No es aconsejable utilizar esta ecuación si alguna de las componentes del vector director es cero, porque aparecería un cero en un denominador. Sin embargo, es posible encontrarse con ecuaciones de este tipo y que tengan ceros en el denominador. Aunque carecen de sentido, las admitiremos simplemente como un tipo más de notación.
Si en la ecuación en forma continua, quitamos denominadores y agrupamos todos los términos en un miembro, nos quedaría:
v2·(x–x1)=v1·(y–y1) Û v2·x– v2·x1=v1·y–v1·y1 Û v2·x–v1·y+v1·y1–v2·x1=0
Esta última ecuación suele escribirse de la forma
Ax+By+C=0 ecuación general o implícita
Siendo A=v2 B=–v1 y C= v1·y1–v2·x1 (1)
Si en la ecuación general despejamos y, resulta:
Esta última ecuación suele escribirse de la siguiente forma:
y=ax+b ecuación explícita de la recta.
siendo
=
(de (1))
la pendiente de la recta
y
ordenada en el origen.
Observa que b es el valor que toma y cuando x=0, es decir, es el punto por donde la recta corta al eje de ordenadas.
Observa también que la pendiente de una recta es el coeficiente que multiplica a x en su ecuación en forma explícita, y que se obtiene dividiendo la coordenada y entre la coordenada x de su vector director.
Veamos con un ejemplo, las distintas formas de dar la ecuación de una recta.
Ejemplo.
Calcula las ecuaciones de la recta que pasa por P(3,–2) y tiene como vector
director
=(–4,7).
Respuesta
La recta
queda determinada por 
Observa que
la pendiente de esta recta es 
. (¿Por qué?)
Ecuación vectorial (x,y)=(3,–2)+l(–4,7), lÎR
Ecuaciones paramétricas
Ecuación continua
Observa que en los denominadores se encuentran las componentes del vector director.
Ecuación general 7(x–3)=–4(y+2) Û 7x+4y–13=0
Ecuación explícita
Tan solo añadir algún comentario:
· No es necesario seguir esta secuencia para obtener las distintas formas de la ecuación de la recta. Puede obtenerse cualquiera de ellas en cualquier orden.
· Si los datos del enunciado no son un punto y el vector director, deben permitirnos obtener cada uno de ellos.
Estudia las posiciones relativas de los puntos y las rectas en el plano.
Respuesta
Los dibujos son lo suficientemente ilustrativos.
El punto es exterior a la recta r. Sus coordenadas no cumplen su ecuación |
El punto pertenece a la recta. Se dice entonces que P es incidente con la recta r. Las coordenadas de P cumplirán la ecuación de la recta |
|
r |
Posiciones
relativas de rectas.
Las rectas son paralelas. No tienen ningún punto en común, por lo que el sistema formado por sus ecuaciones no tiene solución.
|
Las rectas son coincidentes. El sistema formado por sus ecuaciones tiene infinitas soluciones |
Las rectas r y s se cortan en un punto. Se dice que son incidentes. El sistema formado por sus ecuaciones tendrá una única solución. |
4. Comprobación de si tres puntos están alineados.
¿Qué condición crees que deberán cumplir las coordenadas de A, B y C para que estén alineados?
Respuesta
Si A(x1,y1),
B(x2,y2) y C(x3,y3), para que los
tres puntos están alineados, los vectores
y 
deben tener la misma dirección, y por lo tanto han de ser
linealmente dependientes, por lo que
=l· Û
(x2–x1,y2–y1)=
l·(x3–x1,y3–y1),
o lo que es lo mismo
x2–x1=l( x3–x1)
y2–y1=l( y3–y1)
Si ninguna de
las coordenadas de es cero, podemos expresar las igualdades anteriores de la
forma:
que es la relación pedida.
5. Trabajando con la ecuación explícita.
1. Da la ecuación explícita de la recta que pasa por A(1,2) y B(3,3).
2. r: y =2x–5 Da dos puntos de ella y su vector de dirección.
Respuesta
1.
El vector =(3,3)–(1,2)=(2,1), es un vector director de r, luego dicha
recta queda determinada por 
.
La ecuación en forma explícita es y=ax+b (hemos de calcular a y b).
siendo a la pendiente de la recta, que se obtiene dividiendo la 2ª coordenada del vector director entre la 1ª (ver aquí).
Así pues,
, con lo que la ecuación nos queda
.
Tan solo nos falta calcular b. Para ello, hemos de tener en cuenta que A(1,2)Îr, por lo que debe cumplir su ecuación, es decir
2=
·1+b Û
b=2–=
.
Por lo tanto, la ecuación explícita de la recta r es
rº
2. r: y=2x–5. Para dar dos puntos de dicha recta, hemos de encontrar dos soluciones de dicha ecuación.
Para ello lo que podemos hacer es dar dos valores a x y calcular la y. Por ejemplo,
x=0 Þ y=–5, lo que significa que el punto A(0,–5)Îr (es un punto de la recta)
x=1 Þ y=2·1–5=2–5=–3 Þ B(1,–3)Îr
Por lo tanto su
vector director será el vector =(1–0,–3–(–5))=(1,2)
6. Una recta en forma continua.
Si s: 
,
¿sabrías dar un punto de s?. ¿Y un vector de dirección.? ¿Y la pendiente?
Respuesta
De acuerdo con lo que hemos visto, si la ecuación es
en los
denominadores tenemos información sobre el vector director:
,
y en los numeradores tenemos información sobre un punto por el que pasa: A(3,–2)
La pendiente se
obtiene dividiendo la segunda coordenada del vector director entre la
primera: 
7. Actividades de aplicación.
1. ¿Qué relación hay entre la pendiente de una recta y los coeficientes de x e y en su ecuación general?
2. Demuestra que las rectas y = a.x + b que pasan por el origen de coordenadas tienen el término independiente 0.
3. ¿Pertenece el punto P(0,5) a la recta determinada
por 
(–5,2)
y el punto A(5,3)?
4. Escribe las ecuaciones de las rectas r y s que dividen el primer cuadrante en tres ángulos iguales.
5. ¿Cuáles de las siguientes rectas pasan por el punto P(2,3)?
3x–4y–2=0; s: 3x+2y–12=0; t: y=3x–5
Respuesta
1.
La ecuación general es Ax+By+C=0. La pendiente es
2. Si r:y=ax+b es una recta que pasa por el origen, significa que si x=0 ha de ser y=0.
Sustituyendo ambos valores en la ecuación, nos queda
0=0+b Û b=0
3.
En este caso 
, y su ecuación continua sería r:
.
Para que P(0,5) pertenezca a r, debe cumplir la ecuación. Sustituimos, pues, las coordenadas de P en la ecuación de la recta y resulta
Û1=1
Puesto que nos queda una igualdad, significa que P pertenece a la recta.
4. El ángulo que forma cada una de ellas con el eje de abscisas es 30º, 60º, por lo que ya sabemos cuál es su pendiente. Y por otra parte, han de pasar por el origen de coordenadas.
Así pues,
y 
.
Y de acuerdo con lo visto en el apartado 2 de esta actividad, las ecuaciones explícitas de r y s son:
r: 
s:
5. Se trata de sustituir las coordenadas del punto en la ecuación correspondiente. Si la cumplen, el punto pertenece a la recta y si no la cumplen, no pertenece:
3·2–4·3–2¹0 Þ PÏr
3·2+2·3–12=0 Þ PÎr
3¹3·2–5Þ PÏr
8. Parámetro.
Halla el valor de k para que el
punto (2,k) pertenezca a la recta 
Respuesta
Para que (2,k) pertenezca a r, deberá cumplir sus ecuaciones, por lo que
Û
t=1 y, por lo tanto, k=0
9. Trayectorias.
En un plano tenemos situados tres puntos, A(-2,1), B(0,-3) y C(2,-1). Un vehículo se dirige desde el punto A hasta el punto medio de B y C.
¿Pasará por el punto (0,-1)?
Respuesta
· Posibles estrategias
Si llamamos P al punto (0,–1), M al punto medio del segmento BC y r a la recta que va desde A hasta M:
è Estrategia 1:
El vector
ha de ser combinación lineal de
para que pase por el punto P; como:
Sí que pasa por el punto, ya que sus coordenadas son proporcionales.
è Estrategia 2:
La recta r
viene determinada por 
Su
pendiente será 
Su ecuación explícita será y=–x+b.
Y puesto que AÎr,
1=–(–2)+b Û b=1
Por lo tanto, su ecuación explícita es y = – x –1
Sí que pasa por el punto (0,–1), ya que –1=–0–1
10. El rally safari.
En el rally Safari, competición de automóviles del campeonato del mundo, se producen más abandonos que en ninguna otra competición.
Debido a los problemas meteorológicos hay grandes riesgos de choque entre coches, entre coches y animales,...Para intentar evitarlos, dos de los participantes trazan en sus caravanas un plano del recorrido que van a realizar el día siguiente.
Un participante francés va a salir desde el punto de coordenadas A(2,1), seguirá una trayectoria recta pasando por el punto B(-15,18) hasta que el coche aguante. La participante española saldrá desde el punto C(5,-1) y con trayectoria recta pasará por un pueblo de coordenadas (-20,24).
Si salen a la misma hora y van a la misma velocidad, ¿crees que hay posibilidades de que lleguen a chocar?
Respuesta
Se trata de saber si las rectas que definen sus trayectorias son incidentes o no (es decir, se cortan en un punto o no).
Para ello, veamos cómo quedan determinadas ambas rectas.
y 
Puesto que las coordenadas de sus vectores directores son proporcionales y no lo son las del vector (3,2), que va de A a C, resulta que ambas rectas son paralelas, y por lo tanto no hay ninguna posibilidad de que choquen.
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