PROBLEMAS RESUELTOS 5ª QUINCENA.
(I)
Puedes encontrar los enunciados en el libro de
Matemáticas 1. 1º Bachillerato . Ciencias de la Naturaleza y la Salud. Grupo
Eureka: Luis Botella, Bernardina Cascón, Carmen Martín, Luis M. Millán,
Carmen Pérez y Enrique Salinas. Editorial Marfil.
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1. La red del ClNa .
Uno de los más grandes y sorprendentes avances de la química consistió en el descubrimiento de que muchos compuestos, en determinadas condiciones, organizan los elementos químicos de sus moléculas en precisas estructuras geométricas espaciales, llamadas redes cristalinas. Tal situación ocurre, por ejemplo, con la sal común (cloruro sódico de fórmula ClNa), cuya red cristalina básica es la de la figura. En ella los puntos negros representan la posición de los iones de cloro y los círculos la de los iones de sodio.
¿Qué datos sería necesario proporcionar para identificar con precisión el ión señalado con "X" en la figura?
Respuesta
Si observas el dibujo, necesitamos un punto, desde el que empezar a contar los desplazamientos (el origen), que será el vértice inferior del cubo y tres direcciones, que serán las de los tres ejes. También necesitamos una unidad de medida. Supondremos que cada arista del cubo son 2 unidades.
|
|
Para ir desde O hasta X hemos de desplazarnos 1 unidad hacia el frente, 2 hacia la derecha y 1 hacia arriba. De forma resumida (1,2,1). |
2. Vector y extremo.
¿Qué coordenadas tiene un punto B si
= (3,-1)
y A (5,7)?
Respuesta
Dado que si un
vector tiene de coordenadas A(x1,y1) y B(x2,y2),
entonces
,
resultará que
(x–5,y–7)=(3,–1)
Û
Û
Luego B(8,6)
3. Condiciones.
Sean
los vectores 
(2,3), 
(1,1)
y 
(x
, y).
a) ¿Qué debe valer y para
que el vector ++ tenga
la dirección del eje horizontal?
b) ¿Qué debe valer x para
que el vector ++ tenga
la dirección del eje vertical?
c) ¿Qué valen x e y para
que el vector ++ represente
un desplazamiento nulo?
Respuesta
a) Para ello, la ordenada habrá de ser cero, por lo que
(2,3)+(1,1)+(x,y)=(3+x,4+y) deberá cumplir 4+y=0 Û y=–4
b) En este caso, habrá de ser cero la abscisa, por lo que
3+x=0 Û x=–3
c) Si el desplazamiento ha de ser nulo, habrán de ser cero las dos coordenadas, por lo que
x=–3 e y=–4
4. La diapositiva.
Se proyecta una diapositiva cuadrada de 5 cm de lado. ¿A qué distancia habrá que colocar el proyector ( en realidad el foco del proyector) de la pared para que la imagen resultante tenga unas dimensiones de 1 metro x 1 metro?
Respuesta
Si trazamos segmentos desde el
punto donde se proyectan las diapositivas pasando por los vértices de ambas
diapositivas, se obtienen dos pirámides cuadrangulares semejantes, por lo que
sus aristas deben ser proporcionales, siendo la razón de proporcionalidad
=20.
Por tanto, la distancia del foco a la pared habrá de ser de 20 m
5. En el espacio.
El
esquema representa en perspectiva la estructura cristalina del aragonito. ¿Qué
relación existe entre los vectores 
, 
, 
y 
?
Respuesta
Se trata de ir
desde A hasta P, siguiendo las direcciones de los vectores
,
y
.
Para ello
necesitamos desplazarnos 4 unidades en la dirección y sentido de
1
unidad en la dirección y sentido de
y
una unidad en la dirección y sentido de
.
Por lo tanto:
=4
+
+
es la relación que existe entre ellos.
6. Completa.
1. Si dos vectores tienen la misma dirección, son ________________________________
2. Dos vectores son linealmente dependientes si sus coordenadas son _________________
3. En el plano, 
(x,y)
y 
(y,x)
son l.i. si ______________________________________
4. En el plano, más de 2 vectores son siempre __________________________________
Respuesta
1. Los vectores son linealmente dependientes, ya que al tener la misma dirección, uno de ellos puede obtenerse multiplicando el otro por un escalar.
2.
De acuerdo con la definición, si
y
son
linealmente dependientes
=k.
con k un número real
Si
=(u1,u2)
y 
=(v1,v2),
entonces
(u1,u2)=k·(v1,v2) Û u1=k·v1 y u2=k·v2
Es decir, las
coordenadas de
y
han
de ser proporcionales. Si todas ellas son distintas de cero, podemos escribir
que
3. Desde el punto de vista geométrico, si no tienen la misma dirección.
Desde el punto de vista algebraico, si sus coordenadas no son proporcionales. Para ello, x¹±y
4. Son siempre linealmente dependientes. Podemos dar una justificación de tipo geométrico.
En efecto, si tenemos tres vectores en el plano y al menos dos de ellos tienen la misma dirección, son linealmente dependientes según hemos visto antes.
Si los tres vectores tienen direcciones distintas, seguro que podemos formar con ellos un triángulo, por lo que podremos obtener el vector cero como combinación lineal de los tres, sin que todos ellos estén multiplicados por cero, lo que significa que uno de ellos podrá obtenerse como combinación lineal de los otros, y los tres serán linealmente dependientes.
7. Base del plano.
Los vectores 
y 
constituyen
una base del plano. Si 
=3. +2.,
se escribe el vector =(3,2)
donde 3 y 2 son las coordenadas del vector respecto
a la base B={,}.
En la cuadrícula tienes cuatro polígonos. Halla las coordenadas respecto de la base B de los vectores que se proponen:
a) Los
vectores 
, 
,
y 
del
triángulo.
b) Los
vectores , ,
y 
del
cuadrado así como los vectores que forman las diagonales del cuadrado.
c) Los
vectores , , 
, 
y 
del
pentágono y los vectores 
y 
,
dos de las diagonales del pentágono.
d) Los vectores que unen los vértices del hexágono.
Respuesta
La idea
fundamental es ir desde el origen hasta el extremo del vector, siguiendo las
direcciones de los vectores
y
.
Los dibujos, junto con la cuadrícula, son los siguientes:
a) Observa que:
=3
–2'5
,
luego
=(3,–2'5),
ya que para ir
de A a B, hay que ir de A a C, dirección de
,
sentido contrario y 2'5 veces dicho vector (5 cuadraditos de la cuadrícula, y
abarca
dos de ellos).
De la misma forma
=–3
Þ
=(–3,0)
=2'5
Þ
=(0,2'5)
c)
=2
–1'5
,
luego
=(2,–1'5).
=–
–2
,
luego
=(–1,–2).
=–3
,
luego
=(3,0).
=–
+2
Þ
=(–1,2).
=2
+1'5
,
luego
=(2,1'5).
Los apartados b) y d) puedes presentarlos al profesor al acabar la quincena. Estudia con detalle el proceso seguido hasta aquí y aplícalo para resolver dichos apartados.
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